2 σε 1

#1

: Δύο σε ένα.png (13.16 KiB) Προβλήθηκε 185 φορές

Δίνεται τετράγωνο ABCD

πλευράς

Να εντοπίσετε δύο σημεία S, T

των πλευρών AD, DC

αντίστοιχα, ώστε η

να είναι διχοτόμος της $A\widehat ST$ και (ASB)=(DST)+(CTB).

Στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου BST

συναρτήσει του

#2

Καλησπέρα σε όλους. Ξεκινώ με μια "ανορθόδοξη" προσέγγιση.

: 28-01-2023 Γεωμετρία.png (21.17 KiB) Προβλήθηκε 168 φορές

Έστω

.

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κορυφή S(0,0)

παίρνουμε σημεία A(t,0), B(t,1), C(t-1, 1), D(t-1, 0), 0<t<1

, που σχηματίζουν τετράγωνο.

Είναι $\displaystyle \varepsilon \varphi \varphi = \frac{1}{t} \Rightarrow \varepsilon \varphi 2\varphi = \frac{{2t}}{{{t^2} - 1}}$ .

Η $y = \frac{{2t}}{{{t^2} - 1}}x$ τέμνει την

στο $\displaystyle T\left( {t - 1,\; - \frac{{2t}}{{t + 1}}} \right)$ .

$\displaystyle (ASB) = (DST) + (CTB) \Leftrightarrow \frac{t}{2} = \frac{{\left( {1 - t} \right)t}}{{t + 1}} + \frac{{1 - t}}{{2\left( {t + 1} \right)}} \Leftrightarrow t = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$

$\displaystyle \left( {BST} \right) = 1 - 2\left( {ASB} \right) = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{3} \cdot a^2$

Παρατηρούμε ότι είναι $\displaystyle \widehat {ASB} = \widehat {TSD} = 60^\circ$

#3

Και μια γεωμετρική.

: 28-01-2023 Γεωμετρία.jpg (24.37 KiB) Προβλήθηκε 160 φορές

Έστω $\displaystyle a = 1, 0<x<1, 0<y<1$ .

$\displaystyle (ASB) = (DST) + (CTB) \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{{\left( {1 - x} \right)y}}{2} + \frac{{1 - y}}{2} \Leftrightarrow x = - xy + 1 \Leftrightarrow y = \frac{{1 - x}}{x}$

Tότε $\displaystyle \frac{{DT}}{{DS}} = \frac{y}{{1 - x}} = \frac{1}{x} = \frac{{AB}}{{AS}} \Rightarrow \widehat {DST} = \widehat {ASB}$

Αφού οι γωνίες τριχοτομούνται, είναι ίσες με $\displaystyle 60^\circ$ .

Οπότε αρκεί $\displaystyle AS = \frac{{\sqrt 3 }}{3}a$

$\displaystyle \left( {BST} \right) = 1 - 2\left( {ASB} \right) = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{3} \cdot a^2$

edit: Διόρθωσα ένα τυπογραφικό λάθος που μού υπέδειξε ο Ορέστης.

orestisgotsis · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 28, 2023 6:56 pm
Δύο σε ένα.png
Δίνεται τετράγωνο πλευράς Να εντοπίσετε δύο σημεία των πλευρών

αντίστοιχα, ώστε η να είναι διχοτόμος της $A\widehat ST$ και

Στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει του

: Δύο σε ένα.png (10.81 KiB) Προβλήθηκε 89 φορές

Φέρνω $ZS,\,\,TH\bot SB$ . Από $\displaystyle ZS\,//\,TH\Rightarrow {{\widehat{T}}_{3}}={{\widehat{S}}_{1}}$ και από την ομοιότητα των

ορθογωνίων τριγώνων ZDS, STH, DTS, ABS προκύπτει $\displaystyle A\widehat{S}\,B=B\widehat{S}\,T=$

$=T\widehat{S}\,D\left( =60{}^\circ \right)\Rightarrow {{\widehat{S}}_{1}}={{\widehat{S}}_{2}}={{\widehat{T}}_{3}}=S\widehat{B}A=D\widehat{T}\,S=30{}^\circ$ . Στο τρίγωνο ABS

είναι $\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan 30{}^\circ =\tan \,A\widehat{B}\,S=\frac{AS}{\alpha }\Rightarrow AS=\frac{\alpha \sqrt{3}}{3}\Rightarrow SD=\frac{\alpha \left( 3-\sqrt{3} \right)}{3}$ .

Τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο STD είναι: $\sqrt{3}=\tan 60{}^\circ =\tan D\widehat{S}\,T=\displaystyle\frac{DT}{SD}\Rightarrow DT=\alpha \left( \sqrt{3}-1 \right)$ .

Από τη δοσμένη σχέση εμβαδών έχουμε: $\left( BST \right)={{\alpha }^{2}}-2\left( ABS \right)={{\alpha }^{2}}-2\cdot \displaystyle\frac{1}{2}\cdot AS\cdot AB=\displaystyle\frac{{{\alpha }^{2}}\left( 3-\sqrt{3} \right)}{3}$ .

Τα τμήματα AS, DT είναι κατασκευάσιμα και είναι $0<AS<\alpha ,\,\,\,0<DT<\alpha$ .

#5

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 28, 2023 6:56 pm
Δύο σε ένα.png
Δίνεται τετράγωνο πλευράς Να εντοπίσετε δύο σημεία των πλευρών

αντίστοιχα, ώστε η να είναι διχοτόμος της $A\widehat ST$ και

Στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει του

Αν

η προβολή του

στην

θα είναι , $\vartriangle CTB = \vartriangle ZTB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle SAB = \vartriangle SZB$ .

Θέτω : $DT = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DS = y$ οπότε : $AS = a - y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TC = a - x$ .

: Δύο σε ένα.png (13.99 KiB) Προβλήθηκε 57 φορές

Έχω ταυτόχρονα: $\left\{ \begin{gathered} a\left( {a - y} \right) = xy + a\left( {a - x} \right) \hfill \\ SZ + ZT = ST \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} y = \frac{{ax}}{{a + x}} \hfill \\ a - y + a - x = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} y = \frac{{ax}}{{a + x}} \hfill \\ y = \frac{{2a\left( {a - x} \right)}}{{2a - x}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Τα δεύτερα μέλη μας οδηγούν στην εξίσωση , ${x^2} + 2ax - 2{a^2} = 0$ οπότε:

$\boxed{x = a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\,\,}\,\kappa \alpha \iota \,\boxed{\,y = a\left( {1 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}$ τα υπόλοιπα απλά .

2 σε 1

2 σε 1

Re: 2 σε 1

Re: 2 σε 1

Re: 2 σε 1

Re: 2 σε 1

Μέλη σε σύνδεση