Όρθιο ορθογώνιο

KARKAR · #1

: Όρθιο ορθογώνιο.png (7.64 KiB) Προβλήθηκε 263 φορές

Στη διάμετρο

και στο τόξο $\overset{\frown}{AB}$ ενός ημικυκλίου ακτίνας

, θεωρούμε σημεία

S , P

αντίστοιχα , τέτοια ώστε : BS=BP

. Φέρουμε και τμήμα $TS \perp AB$ .

Πώς να επιλέξουμε το

, ώστε $\widehat{TPS}=90^\circ$ και πόσο είναι τότε το τμήμα

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 27, 2023 8:11 pm
Όρθιο ορθογώνιο.pngΣτη διάμετρο και στο τόξο $\overset{\frown}{AB}$ ενός ημικυκλίου ακτίνας , θεωρούμε σημεία

αντίστοιχα , τέτοια ώστε : . Φέρουμε και τμήμα $TS \perp AB$ .

Πώς να επιλέξουμε το , ώστε $\widehat{TPS}=90^\circ$ και πόσο είναι τότε το τμήμα ;

Με τους συμβολισμούς του σχήματος:

: 'Ορθιο ορθογώνιο.png (17.87 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές

$\displaystyle \cos \theta = \frac{{SP}}{{2x}},\sin \theta = \frac{{SP}}{{TS}} = \frac{{SP}}{{\sqrt {x(2r - x)} }} \Rightarrow$ $\boxed{\tan \theta = \frac{{2x}}{{\sqrt {x(2r - x)} }}}$ (1)

$\displaystyle \tan \theta = \cot (90^\circ - \theta ) = \frac{{2r - x}}{{\sqrt {x(2r - x)} }}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} 2x = 2r - x \Leftrightarrow$ $\boxed{ x = SB = \frac{{2r}}{3}}$

με αντικατάσταση στην (1)

βρίσκω $\displaystyle \tan \theta = \sqrt 2 \Leftrightarrow \cos \theta = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ και $\boxed{SP= \frac{{4r\sqrt 3 }}{9}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 27, 2023 8:11 pm
Όρθιο ορθογώνιο.pngΣτη διάμετρο και στο τόξο $\overset{\frown}{AB}$ ενός ημικυκλίου ακτίνας , θεωρούμε σημεία

αντίστοιχα , τέτοια ώστε : . Φέρουμε και τμήμα $TS \perp AB$ .

Πώς να επιλέξουμε το , ώστε $\widehat{TPS}=90^\circ$ και πόσο είναι τότε το τμήμα ;

Η

τέμνει την

στο

και το

είναι εγγράψιμμο ισοσκελές τραπέζιο άρα PM=MS

,συνεπώς

$BM \bot PS \Rightarrow BM \bot AN$

Αλλά και $BK\bot AN$ άρα K,M,B

συνευθειακά και λόγω της προφανούς ισότητας των γωνιών $\theta$ το KTPB

είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Έτσι, KT=//SB=x

άρα

μέσον της

και η

εφάπτεται του κύκλου (K,A,S,M)

Άρα $KT^2=TM.TS= \dfrac{TS^2}{2} \Rightarrow x^2= \dfrac{x(2r-x)}{2} \Rightarrow x= \dfrac{2r}{3}$ επομένως $AS= \dfrac{4r}{3}$

Από $TS^2=AS.SB \Rightarrow TS= \dfrac{2 \sqrt{2} r}{3} \Rightarrow NS= \dfrac{4 \sqrt{2} r}{3}$ και με Π.Θ $AN= \dfrac{4r \sqrt{3} }{3}$

$PS//AN \Rightarrow \dfrac{PS}{AN}= \dfrac{MS}{MN}= \dfrac{1}{3} \Rightarrow PS=\dfrac{4 \sqrt{3} r}{9}$

: Όρθιο ορθογώνιο.png (22.34 KiB) Προβλήθηκε 193 φορές

Όρθιο ορθογώνιο

Όρθιο ορθογώνιο

Re: Όρθιο ορθογώνιο

Re: Όρθιο ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση