Γεωμετρικοί Τόποι

[orestisgotsis]

Γεωμετρικοί Τόποι.png (19.43 KiB) Προβλήθηκε 230 φορές

Δίνεται τρίγωνο του οποίου η βάση είναι σταθερή σε θέση και μέγεθος. Η κορυφή κινείται στον περιγεγραμμένο

και σταθερό κύκλο του τριγώνου έτσι, ώστε η γωνία να παραμένει πάντοτε οξεία. Θεωρούμε ένα σημείο

της σταθερό. Από το φέρνουμε παράλληλη προς την η οποία τέμνει την στο

και παράλληλη προς την που τέμνει την στο .

1) Να βρεθούν οι γ. τόποι των σημείων και .

2) Προεκτείνουμε την προς το μέρος του και παίρνουμε σημείο , ώστε να είναι . Να αποδειχθεί ότι η

διέρχεται από σταθερό σημείο, έστω και να βρεθεί ο γ.τόπος του . Να αποδειχθεί, επίσης, ότι ο περιγεγραμμένος

κύκλος του τριγώνου εφάπτεται πάντοτε της .

3) Να προσδιορισθεί η θέση του πάνω στον κύκλο έτσι, ώστε το άθροισμα να είναι μέγιστο.

[rek2]

Προφανώς οι γεωμετρικοί τόποι των σημείων και είναι τα τόξα των κύκλων που βλέπουν υπό σταθερή γωνία ( ίση με την γωνία που τα σημεία του τόξου βλέπουν την ) τα τμήματα αντιστοίχως.

Ονομάζω το τόξο που αντιστοιχεί στο σημείο .

Έστω το σημείο τομής της κάθετης επί την στο και τής κάθετης επί την στο Αποδεικνύεται εύκολα ότι το τμήμα είναι σταθερό ( ίσο με ), οπότε ο γεωμετρικός τόπος του είναι ένα τόξο του κύκλου διαμέτρου . Τα άκρα του τόξου αυτού εντοπίζονται από τις οριακές θέσεις του σημείου .
Ονομάζω το τόξο αυτό.

Φανερά, στην συνέχεια, οι γωνίες του ισοσκελούς τριγώνου έχουν σταθερό μέτρο . Έτσι, η επανατέμνει τον σταθερό κύκλο διαμέτρου σε σταθερό σημείο (γιατί η γωνία είναι εγγεγραμμένη σε αυτόν και σταθερού μέτρου), που είναι το , και όλα τα υποερωτήματα του έχουν φανερές, πλέον, απαντήσεις.

Για το ., επειδή, το μέγιστο εντοπίζεται όταν η είναι παράλληλη στην διακεντρική των τόξων , αφού αυτή διέρχεται από το σημείο τομής τους. (βλέπε και εδώ)