Γεωμετρικοί Τόποι

[orestisgotsis]

Περιττό

[rek2]

Προφανώς οι γεωμετρικοί τόποι των σημείων και είναι τα τόξα των κύκλων που βλέπουν υπό σταθερή γωνία ( ίση με την γωνία που τα σημεία του τόξου βλέπουν την ) τα τμήματα αντιστοίχως.

Ονομάζω το τόξο που αντιστοιχεί στο σημείο .

Έστω το σημείο τομής της κάθετης επί την στο και τής κάθετης επί την στο Αποδεικνύεται εύκολα ότι το τμήμα είναι σταθερό ( ίσο με ), οπότε ο γεωμετρικός τόπος του είναι ένα τόξο του κύκλου διαμέτρου . Τα άκρα του τόξου αυτού εντοπίζονται από τις οριακές θέσεις του σημείου .
Ονομάζω το τόξο αυτό.

Φανερά, στην συνέχεια, οι γωνίες του ισοσκελούς τριγώνου έχουν σταθερό μέτρο . Έτσι, η επανατέμνει τον σταθερό κύκλο διαμέτρου σε σταθερό σημείο (γιατί η γωνία είναι εγγεγραμμένη σε αυτόν και σταθερού μέτρου), που είναι το , και όλα τα υποερωτήματα του έχουν φανερές, πλέον, απαντήσεις.

Για το ., επειδή, το μέγιστο εντοπίζεται όταν η είναι παράλληλη στην διακεντρική των τόξων , αφού αυτή διέρχεται από το σημείο τομής τους. (βλέπε και εδώ)