Καθετότητα με λόγο

#1

: Καθετότητα με λόγο.png (20.31 KiB) Προβλήθηκε 472 φορές

Δίνεται κύκλος (O, 5),

μία χορδή

το μέσο της

και τυχόν σημείο

του μεγάλου τόξου $\overset\frown{BC}.$ Οι

εφαπτόμενες του κύκλου στα B, C

τέμνονται στο

και έστω

οι προβολές του

στις

αντίστοιχα.

α) Να δείξετε ότι $AM\bot TP......$ β) Να υπολογίσετε το λόγο $\displaystyle \frac{{(STP)}}{{(ABC)}}.$

Henri van Aubel · #2

Για το πρώτο.

Εύκολα είναι $\displaystyle \frac{ST}{SP}=\frac{ST}{SB}:\frac{SP}{SC}=\frac{\sin \angle C}{\sin \angle B}=\frac{\sin \angle SPT}{\sin \angle STP}=\frac{\sin \angle CAM}{\sin \angle BAM}:(1)$

Επιπλέον λόγω του εγγράψιμου τετραπλεύρου ATSP

, είναι $\angle SPT+\angle STP=180^\circ-\angle PST=\angle A=\angle CAM+\angle BAM:(2)$

Οπότε, από (1),(2)

προκύπτει ότι $\angle SPT=\angle SAT=\angle SAB=\angle CAM$ και άρα $\angle BAM=\angle PAS=90^\circ-\angle PSA=90^\circ-\angle PTA,$ όπως θέλαμε $\blacksquare$

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 21, 2023 11:29 am
Καθετότητα με λόγο.png
Δίνεται κύκλος μία χορδή το μέσο της και τυχόν σημείο του μεγάλου τόξου $\overset\frown{BC}.$ Οι

εφαπτόμενες του κύκλου στα τέμνονται στο και έστω οι προβολές του στις αντίστοιχα.

α) Να δείξετε ότι $AM\bot TP......$ β) Να υπολογίσετε το λόγο $\displaystyle \frac{{(STP)}}{{(ABC)}}.$

α) Τα τετράπλευρα $MBTS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MSPC\,\,$ είναι εγγράψιμα με διαμέτρους $SB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SC$ ( ίσοι οι κύκλοι )

Οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες και οι πράσινες ίσες ενώ από το ορθογώνιο τρίγωνο MSC

μια κόκκινη και μια πράσινη είναι μαζί $90^\circ$ .

Αν

κόψει την

στο

το τρίγωνο KPA

έχει μια κόκκινη και μια πράσινη γωνία άρα είναι ορθογώνιο .

Δηλαδή $\overline {PMK} \bot AB$ και ομοίως , $TM \bot AC$ δηλαδή το

είναι ορθόκεντρο του $\vartriangle ATS$ και άρα η $AM \bot TS$ .

: καθετότητα με λόγο.png (34.05 KiB) Προβλήθηκε 407 φορές

β) το $\left( {TSP} \right)$ είναι το μισό του προφανώς παραλληλογράμμου MTSP

, έτσι :

$\boxed{\left( {TSP} \right) = \left( {MSP} \right)}$ αλλά τα $\vartriangle ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle PMS$ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας :

$\lambda = \dfrac{{MS}}{{BC}} = \dfrac{{\dfrac{{16}}{3}}}{8} = \dfrac{{16}}{{24}} = \dfrac{2}{3}$ γιατί από το $\vartriangle OCS$ , $C{M^2} = OM \cdot MS \Rightarrow 16 = 3MS$ .

Έτσι: $\boxed{\frac{{\left( {TSP} \right)}}{{\left( {ABC} \right)}} = \frac{4}{9}}$

orestisgotsis · #4

Περιττό

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 21, 2023 11:29 am
Καθετότητα με λόγο.png
Δίνεται κύκλος μία χορδή το μέσο της και τυχόν σημείο του μεγάλου τόξου $\overset\frown{BC}.$ Οι

εφαπτόμενες του κύκλου στα τέμνονται στο και έστω οι προβολές του στις αντίστοιχα.

α) Να δείξετε ότι $AM\bot TP......$ β) Να υπολογίσετε το λόγο $\displaystyle \frac{{(STP)}}{{(ABC)}}.$

A)Είναι γνωστό ότι

είναι η Α-συμμετροδιάμεσος του τριγώνου ABC

Άρα οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες και λόγω του εγγράψιμμου ATSP

και οι πράσινες γωνίες είναι ίσες

κι επειδή το άθροισμά τους είναι 90^0

, θα είναι $AM \bot TP$

B)Από το εγγράψιμμο OBSC

είναι

άρα $MS= \dfrac{16}{3}$ και $\dfrac{BS^2}{OB^2} = \dfrac{MS}{OM}= \dfrac{16}{9}$

Είναι, $\angle A+TSP=180^0 \Rightarrow \dfrac{(TPS)}{(ABC)}= \dfrac{ST.SP}{bc}$ .Αλλά

σημείο

της συμμετροδιαμέσου,οπότε $\dfrac{ ST }{ c} = \dfrac{ SP }{ b}$ κι έτσι $\dfrac{(TPS)}{(ABC)}= \dfrac{ST^2 }{c^2}$

Είναι όμως $\dfrac{ST}{ \dfrac{c}{2} }= \sqrt{ \dfrac{SM}{MO} }= \dfrac{4}{3} \Rightarrow \dfrac{ST^2}{c^2}= \dfrac{(TSP)}{(ABC)} = \dfrac{4}{9}$

: Καθετότητα και λόγος εμβαδών.png (62.23 KiB) Προβλήθηκε 282 φορές

Καθετότητα με λόγο

Καθετότητα με λόγο

Re: Καθετότητα με λόγο

Re: Καθετότητα με λόγο

Re: Καθετότητα με λόγο

Re: Καθετότητα με λόγο

Μέλη σε σύνδεση