Μήκος τμήματος

Ιστοσελίδα · #1

: shape.png (15.82 KiB) Προβλήθηκε 580 φορές

Στο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος του τμήματος DF = x

.

Henri van Aubel · #2

Θέτω $\angle ACD=\theta .$
Είναι:

$\displaystyle \angle DAF=\frac{\angle AEC}{2}=\frac{90^\circ-2\theta }{2}=45^\circ-\theta$

Συνεπώς $\angle ADC=45^\circ$ κι έτσι έχουμε:

$\displaystyle \frac{AD}{FC}=\frac{AD}{AC}\cdot \frac{AC}{FC}=\frac{\sin \theta }{\sin 45^\circ }\cdot \cos \theta =\frac{6\sqrt{2}}{13}\Leftrightarrow \boxed{\sin 2\theta =\frac{12}{13}}(1)$

Καλούμαστε να υπολογίσουμε το :

$\displaystyle \boxed{x=6\sqrt{2}\cdot \frac{\sin \left ( 45^\circ-\theta \right )}{\cos \theta }}(2)$

Aπό τις δύο σχέσεις μπορούμε άνετα να το υπολογίσουμε με κάποιες πράξεις!

#3

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 28, 2022 7:16 am
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος του τμήματος .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι $\displaystyle 2\theta + 2\omega = 90^\circ \Leftrightarrow \theta + \omega = 45^\circ \Rightarrow A\widehat DC = 45^\circ$

Εξάλλου $\cos \theta = \dfrac{b}{{13}}.$ Εφαρμόζω δύο φορές τον νόμο συνημιτόνων στο ADC.

: χ.ΜΝ.png (17.85 KiB) Προβλήθηκε 516 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} {b^2} = 72 + {(13 + x)^2} - 6(13 + x) \hfill \\ 72 = {(13 + x)^2} + {b^2} - 2b(13 + x)\frac{b}{{13}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ , και με απαλοιφή του

$\displaystyle {x^3} + 14{x^2} + 7x - 78 = 0 \Leftrightarrow (x - 2)(x + 3)(x + 13) = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0}$ $\boxed{x=2}$

Altrian · #4

Καλημέρα,

Φέρνω από το

κάθετη στην

. Προφανώς $\angle CDA=\angle DAG=45\Rightarrow \angle FAH=\theta$ . Αρα FACH

εγγράψιμο.
$GA=GD=GH=\dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=6$ . Από δύναμη σημείου

ως προς τον κύκλο έχω:
$GA*GH=GF*GC\Rightarrow 36=FG*(13-FG)\Rightarrow FG=4\Rightarrow x=GD-FG=2$

#5

Altrian έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 29, 2022 11:24 am
Καλημέρα,

Φέρνω από το κάθετη στην . Προφανώς $\angle CDA=\angle DAG=45\Rightarrow \angle FAH=\theta$ . Αρα εγγράψιμο.
$GA=GD=GH=\dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=6$ . Από δύναμη σημείου ως προς τον κύκλο έχω:
$GA*GH=GF*GC\Rightarrow 36=FG*(13-FG)\Rightarrow FG=4\Rightarrow x=GD-FG=2$

Ωραίο Αλέξανδρε

#6

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 28, 2022 7:16 am
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος του τμήματος .

Ας είναι

το συμμετρικό του

ως προς την διχοτόμο

. Τα $ADKC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AFKC$ είναι χαρταετοί .

Θεωρώ την επί την

κάθετη στο

και τέμνει τις $CD\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CB$ στα $G\,\,\kappa \alpha \iota \,\,J$ .

Από το ορθογώνιο $\vartriangle ABJ$ έχω EA = EJ

και έτσι αβίαστα έχω: $\vartriangle ADF = \vartriangle KDF = \vartriangle KGJ$ .

: Μήκος τμήματος_oritzin_1.png (20.1 KiB) Προβλήθηκε 429 φορές

Το τετράπλευρο ADCJ

είναι ταυτόχρονα ρόμβος και ορθογώνιο , δηλαδλη τετράγωνο πλευράς $AD = 6\sqrt 2 \Rightarrow AK = BG = 12 \Rightarrow BM = 6$ .

Από το ορθογώνιο τρίγωνο με ύψος AM = 6

, προκύπτει $\boxed{MC = 9} \Rightarrow CG = 3\,\,,\,\,MF = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\boxed{\,x = 2}$

Ιστοσελίδα · #7

Καλημέρα και σας ευχαριστώ για τις λύσεις.

: shape-sol.png (11.3 KiB) Προβλήθηκε 383 φορές

Αφού δείξω , από εξωτερική γωνία, ότι $\angle ADC = {45^ \circ }$ , κατασκευάζω το ορθογώνιο και ισοσκελές $\triangleleft ADK$ με AK = KD = 6

.

Από την ομοιότητα των $\triangleleft AKF, \triangleleft CKA$ , παίρνω το λόγο $\dfrac{6}{{6 - x}} = \dfrac{{7 + x}}{6}$ με δεκτή λύση x = 2.

STOPJOHN · #8

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 28, 2022 7:16 am
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε το μήκος του τμήματος .

Κατασκευάζω τον κύκλο (A,D,C)

που τέμνει την

στο σημείο

.Στο εγγράψιμο τετράπλευρο $ADXC,XC=2R,OA\perp XC,$ Από το θεώρημα Πτολεμαίου XD=x+1,

και απο τεμνόμενες χορδές x.13=AF.XF,(1)

Αρα $XF^{2}=x^{2}+(x+1)^{2},$

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $XDC,2R^{2}=x^{2}+14x+85,(3),$ , $AF^{2}=169-2R^{2}$ και λόγω της (3) γράφεται $AF^{2}=-x^{2}-14x+84,$
και απο την $(1)\Rightarrow 169x^{2}=(2x^{2}+x+1)(-x^{2}-14x+84)\Rightarrow x=2$

Μήκος τμήματος

Μήκος τμήματος

Re: Μήκος τμήματος

Re: Μήκος τμήματος

Re: Μήκος τμήματος

Re: Μήκος τμήματος

Re: Μήκος τμήματος

Re: Μήκος τμήματος

Re: Μήκος τμήματος

Μέλη σε σύνδεση