Κατασκευή κύκλου (1η)
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Κατασκευή κύκλου (1η)
Να κατασκευαστεί ο εγγεγραμμένος κύκλος στο κοινό τμήμα δυο δοθέντων κύκλων και
ο οποίος να διέρχεται από το δοθέν σημείο του κοινου αυτού τμήματος, όπως φαίνεται και στο ακόλουθο σχήμα. Αν είναι δυνατόν
να χρωματιστεί, όπως φαίνεται και στην εικόνα αυτή.
ο οποίος να διέρχεται από το δοθέν σημείο του κοινου αυτού τμήματος, όπως φαίνεται και στο ακόλουθο σχήμα. Αν είναι δυνατόν
να χρωματιστεί, όπως φαίνεται και στην εικόνα αυτή.
Λέξεις Κλειδιά:
- polysindos
- Δημοσιεύσεις: 157
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 10:18 am
Re: Κατασκευή κύκλου (1η)
(R² (R - xl) + r² xl - R (R - xl) xl + R (xe² - 2x xe + ye² - 2y ye))² = (2R (R - xl) + 2xl r)² ((x - xe)² + (y - ye)²)
(r (2R - r) (2R r + r² + 4 ((x - xe)² + (y - ye)²)) - 4R² y²)² = 16(R + r)² r² (2R - r)² ((x - xe)² + (y - ye)²)
η κατασκευή του κύκλου γίνεται με το geogebra
(r (2R - r) (2R r + r² + 4 ((x - xe)² + (y - ye)²)) - 4R² y²)² = 16(R + r)² r² (2R - r)² ((x - xe)² + (y - ye)²)
η κατασκευή του κύκλου γίνεται με το geogebra
- Συνημμένα
-
- κατασκευη κυκλου.png (37.26 KiB) Προβλήθηκε 416 φορές
τελευταία επεξεργασία από polysindos σε Κυρ Νοέμ 27, 2022 2:06 pm, έχει επεξεργασθεί 6 φορές συνολικά.
- polysindos
- Δημοσιεύσεις: 157
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 10:18 am
Re: Κατασκευή κύκλου (1η)
η πρώτη εξίσωση βγαίνει από το θεώρημα Stewart στο τρίγωνο AKL με πλευρές
και η δεύτερη από τον υπολογισμό του εμβαδού του AKL με δύο τρόπους ένας από τον τον τύπο του Ήρωνα και ο άλλος βάση R και ύψος y
xl είναι η τετμημένη του L
E(xe,ye) άλλαξα το σημείο που διέρχεται ο κύκλος
είναι η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου
A(x,y) το κέντρο του ζητούμενου κύκλου
οι αρχικές εξισώσεις έχουν ριζικά οπότε θα χρειαστεί να υψώσουμε στο τετράγωνο
χρειαζόμαστε geogebra για τις πεπλεγμένες συναρτήσεις
και η δεύτερη από τον υπολογισμό του εμβαδού του AKL με δύο τρόπους ένας από τον τον τύπο του Ήρωνα και ο άλλος βάση R και ύψος y
xl είναι η τετμημένη του L
E(xe,ye) άλλαξα το σημείο που διέρχεται ο κύκλος
είναι η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου
A(x,y) το κέντρο του ζητούμενου κύκλου
οι αρχικές εξισώσεις έχουν ριζικά οπότε θα χρειαστεί να υψώσουμε στο τετράγωνο
χρειαζόμαστε geogebra για τις πεπλεγμένες συναρτήσεις
τελευταία επεξεργασία από polysindos σε Πέμ Νοέμ 24, 2022 9:19 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
- polysindos
- Δημοσιεύσεις: 157
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 10:18 am
Re: Κατασκευή κύκλου (1η)
θεώρημα Stewart στο
τελευταία επεξεργασία από polysindos σε Πέμ Νοέμ 24, 2022 8:51 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- polysindos
- Δημοσιεύσεις: 157
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 10:18 am
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Κατασκευή κύκλου (1η)
Βέβαια, και για να μη ξεχνιόμαστε, να αναφέρουμε για το πρόβλημα ότι πρόκειται για την Απολλώνια Κατασκευή που γίνεται με κανόνα και διαβήτη:
Κατασκευή κύκλου διερχόμενου από δοθέν σημείο και εφαπτόμενου σε δύο δοθέντες κύκλους.
Κατασκευή κύκλου διερχόμενου από δοθέν σημείο και εφαπτόμενου σε δύο δοθέντες κύκλους.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Re: Κατασκευή κύκλου (1η)
ΑΔ είναι η διακεντρική των δύο κόκκινων κύκλων.
Θεωρούμε την αντιστροφή που στέλνει τον ένα κόκκινο κύκλο στον άλλον. ( έχει κέντρο το σημείο τομής των εφαπτομένων των δύο κύκλων και ακτίνα αντιστροφής ίση με την απόσταση του εν λόγω κέντρου από τα σημεία τομής των δύο κύκλων).
Αυτή στέλνει τους πράσινους κύκλους στον εαυτό τους, επομένως το Ζ είναι γνωστό σαν το αντίστροφο του Ε.
Φορσέ το ΑΖΕΔ είναι εγγράψιμο και έστω ότι ο κύκλος του επανατέμνει τον έναν κόκκινο κύκλο στο Η.
Η ευθεία ΗΔ τέμνει την ΖΕ στο Θ το οποίο, επομένως, είναι γνωστό. Επειδή
(ΘΕ)(ΘΖ)=(ΘΔ)(ΘΗ)
οι εφαπτόμενες από το Θ στον κόκκινο κύκλο εφάπτονται και στους πράσινους κύκλους.
Αλλά τα σημεία επαφής Ι και Λ είναι γνωστά. Επομένως για κάθε πράσινο κύκλο γνωρίζουμε τρία σημεία (τα Ε, Ζ, Ι για τον έναν και τα Ε, Ζ, Λ για τον άλλον), οπότε τους κατασκευάζουμε.
Έτσι έχουμε την κατασκευή:
Φέρνουμε τις κοινές εφαπτόμενες των κύκλων που τέμνονται στο Κ.
Γράφουμε τον κύκλο ΑΕΔ. Τέμνει την ΚΕ στο Ζ και επανατέμνει τον έναν από τους δοσμένους κύκλους στο Η.
Η ευθεία ΗΔ τέμνει την ΖΕ στο Θ. Φέρνουμε τις εφαπτόμενες ΘΙ και ΘΛ, από το Θ στον ίδιο με παραπάνω δοσμένο κύκλο.
Οι ζητούμενο κύκλοι είναι οι ΕΖΙ και ΕΖΛ.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Re: Κατασκευή κύκλου (1η)
Κώστα Καλησπέρα...rek2 έγραψε: ↑Παρ Νοέμ 25, 2022 9:53 pmΔίνονται οι κόκκινοι κύκλοι και το σημείο Ε. Ζητάμε τους πράσινους κύκλους.
ΑΔ είναι η διακεντρική των δύο κόκκινων κύκλων.
Θεωρούμε την αντιστροφή που στέλνει τον ένα κόκκινο κύκλο στον άλλον. ( έχει κέντρο το σημείο τομής των εφαπτομένων των δύο κύκλων και ακτίνα αντιστροφής ίση με την απόσταση του εν λόγω κέντρου από τα σημεία τομής των δύο κύκλων).
Αυτή στέλνει τους πράσινους κύκλους στον εαυτό τους, επομένως το Ζ είναι γνωστό σαν το αντίστροφο του Ε.
Φορσέ το ΑΖΕΔ είναι εγγράψιμο και έστω ότι ο κύκλος του επανατέμνει τον έναν κόκκινο κύκλο στο Η.
Η ευθεία ΗΔ τέμνει την ΖΕ στο Θ το οποίο, επομένως, είναι γνωστό. Επειδή
(ΘΕ)(ΘΖ)=(ΘΔ)(ΘΗ)
οι εφαπτόμενες από το Θ στον κόκκινο κύκλο εφάπτονται και στους πράσινους κύκλους.
Αλλά τα σημεία επαφής Ι και Λ είναι γνωστά. Επομένως για κάθε πράσινο κύκλο γνωρίζουμε τρία σημεία (τα Ε, Ζ, Ι για τον έναν και τα Ε, Ζ, Λ για τον άλλον), οπότε τους κατασκευάζουμε.
Έτσι έχουμε την κατασκευή:
Φέρνουμε τις κοινές εφαπτόμενες των κύκλων που τέμνονται στο Κ.
Γράφουμε τον κύκλο ΑΕΔ. Τέμνει την ΚΕ στο Ζ και επανατέμνει τον έναν από τους δοσμένους κύκλους στο Η.
Η ευθεία ΗΔ τέμνει την ΖΕ στο Θ. Φέρνουμε τις εφαπτόμενες ΘΙ και ΘΛ, από το Θ στον ίδιο με παραπάνω δοσμένο κύκλο.
Οι ζητούμενο κύκλοι είναι οι ΕΖΙ και ΕΖΛ.
Η λύση σου ωραία και η χρηση της αντιστροφής αποτελεσματική!
Και εγώ θα αναρτήσω τη δικιά μου λύση κάνοντας χρήση της αντιστροφής, αλλά με διαφορετικό τρόπο.
Εσύ με την αντιστροφή σου μετασχημάτισες τους δύο κύκλους σε δύο πάλι κύκλους και κέρδισες ένα ακόμα σημείο
με το οποίο έφτασες στην κατασκευή.
Εγώ με την αντιστροφή θα μετασχηματίσω τους δύο κύκλους σε δυο ευθείες και το σημείο σε ένα άλλο. Έτσι θα
αναχθώ στην απλούστερη μορφή της κατασκευής κύκλου που διέρχεται από δοθέν σημείο και εφάπτεται σε δυο κύκλους.
Να είσαι καλά!
Κώστας Δόρτσιος
Re: Κατασκευή κύκλου (1η)
Καλησπέρα...
Θα προσπαθήσω να υλοποιήσω την ιδέα που ανάφερα περιληπτικά στην απάντησή μου στον Κώστα Ρεκούμη.
Έχουμε στόχο να κατασκευάσουμε έναν κύκλο όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα 1.
Ας δούμε στο σχήμα 2 τους κύκλους και το σχήμα αυτό με μια άλλη ματιά...
Από το σχήμα αυτό φαίνεται ότι είναι η απολλώνια κατασκευτή που ζητά κύκλο να εφάπτεται σε δύο αλλους και να διέρχεται από
δοθέν σημείο, όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα 3.
Υπάρχουν πολλές ιδέες. Εδώ θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο της αντιστροφής για να απλοποιήσουμε την όλη κατασκευή.
Θεωρούμε ως κύκλο αντιστροφής έναν τυχαίο κύκλο με κέντρο στο σημείο και στη συνέχεια βρίσκουμε τις εικόνες
των δύο κύκλων και του δοθέντος σημείου , όπως φαίνεται στο σχήμα 4.
Στο σχήμα 4 φαίνονται οι ευθείες , και το σημείο που είναι οι αντίστροφες εικόνες των κύκλων
, και του σημείου .
Ας δούμε το σχήμα αυτό πιο απλοποιημένο ως εξής στο σχήμα 5.
Επομένως το πρόβλημα έχει αναχθεί στην κατασκευή κύκλου που να εφάπτεται δυο δοθεισών ευθειών και να διέρχεται
από δοθέν σημείο.
(Συνεχίζεται...)
Κώστας Δόρτσιος
Re: Κατασκευή κύκλου (1η)
(Συνέχεια...)
Καλημέρα....
Προτού να κλείσω την όλη κατασκευή, θα ήθελα να φανεί μέσα από ένα δυναμικό αρχείο, η όλη διαδικασία της
αντιστροφής που εφαρμόστηκε στους δύο κύκλους και στο δοθέν σημείο και έδωσε ως αποτέλεσμα
τις δυο ευθείες και τη σημειακή εικόνα .
Παραθέτω το αρχικό στιγμιότυπο:
και στη συνέχεια το τελικό στιγμιότυπο:
Για να δείτε πώς από το πρώτο σχήμα πήγαμε στο δεύτερο μπορείτε να επισκεφθείτε το σύνδεσμο:
https://www.geogebra.org/m/hmxwg4mp
(συνεχίζεται...)
Κώστας Δόρτσιος
Re: Κατασκευή κύκλου (1η)
(Τελική κατασκευή...)
Καλημέρα...
Παραθέτω την τελική κατασκευή του αρχικού αυτού προβλήματος.
Στο ανωτέρω σχήμα φαίνεται ότι είναι εύκολο να βρούμε έναν κύκλο ο οποίος εφάπτεται των δύο
ευθειών και και ο οποίος διέρχεται από το σημείο .
Προφανώς ο ζητούμενος κύκλος θα διέρχεται και από το συμμετρικό του σημείου ως προς τη
διχοτόμο της γωνίας των ευθειών αυτών η οποία περιλαμβάνει το σημείο . Έτσι το πρόβλημα ανάγεται
σε απλούστερο, δηλαδή στην κατασκευή κύκλου ο οποίος να διέρχεται από δυο δοθέντα σημεία και να εφάπτεται
δοθείσης ευθείας.
Έτσι όπως σημειώθηκε στο σχήμα 10, βρέθηκε το σημείο επί της τέτοιο ώστε:
Έτσι ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο είναι ο ζητούμενος στη φάση αυτή.
Σημειώνεται ότι γενικά υπάρχουν δύο λύσεις.
Τελική διαδικασία:
Τον κύκλο αυτό, καθώς και τα τρία υπόλοιπα στοιχεία, δηλαδή τις δυο ευθείες και το
σημείο τα "μετακινούμε" στην αρχική τους θέση με τον αντίστροφο γεωμετρικό της αντιστροφής που
εφαρμόσαμε στις προηγούμενες φάσεις και έτσι λαμβάνουμε το σχήμα 11.
Στο σχήμα αυτό έγινε και ο επιθυμητός χρωματισμός!!
Επειδή έχει κατά τη γνώμη μου ενδιαφέρον η όλη αυτή διαδικασία,παραθέτω και τον παρακάτω
σύνδεσμο για καλύτερη κατανόηση του μετασχηματισμού που εφαρμόστηκε.
https://www.geogebra.org/m/gnrqq5hw
Κώστας Δόρτσιος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες