Κατασκευή κύκλου (1η)

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2240
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Κατασκευή κύκλου (1η)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Παρ Νοέμ 18, 2022 1:55 pm

Να κατασκευαστεί ο εγγεγραμμένος κύκλος στο κοινό τμήμα \displaystyle{(\Omega)} δυο δοθέντων κύκλων \displaystyle{C_1(K,R) } και \displaystyle{C_2(L,r)}
ο οποίος να διέρχεται από το δοθέν σημείο \displaystyle{A} του κοινου αυτού τμήματος, όπως φαίνεται και στο ακόλουθο σχήμα. Αν είναι δυνατόν
να χρωματιστεί, όπως φαίνεται και στην εικόνα αυτή.
Κατασκευή κύκλου 1.png
Κατασκευή κύκλου 1.png (17.84 KiB) Προβλήθηκε 395 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
polysindos
Δημοσιεύσεις: 151
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 10:18 am

Re: Κατασκευή κύκλου (1η)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysindos » Δευ Νοέμ 21, 2022 8:49 pm

(R² (R - xl) + r² xl - R (R - xl) xl + R (xe² - 2x xe + ye² - 2y ye))² = (2R (R - xl) + 2xl r)² ((x - xe)² + (y - ye)²)

(r (2R - r) (2R r + r² + 4 ((x - xe)² + (y - ye)²)) - 4R² y²)² = 16(R + r)² r² (2R - r)² ((x - xe)² + (y - ye)²)

η κατασκευή του κύκλου γίνεται με το geogebra
Συνημμένα
κατασκευη κυκλου.png
κατασκευη κυκλου.png (37.26 KiB) Προβλήθηκε 17 φορές
τελευταία επεξεργασία από polysindos σε Κυρ Νοέμ 27, 2022 2:06 pm, έχει επεξεργασθεί 6 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
polysindos
Δημοσιεύσεις: 151
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 10:18 am

Re: Κατασκευή κύκλου (1η)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysindos » Δευ Νοέμ 21, 2022 8:54 pm

η πρώτη εξίσωση βγαίνει από το θεώρημα Stewart στο τρίγωνο AKL με πλευρές R,R-\rho ,r-\rho
και η δεύτερη από τον υπολογισμό του εμβαδού του AKL με δύο τρόπους ένας από τον τον τύπο του Ήρωνα και ο άλλος βάση R και ύψος y

xl είναι η τετμημένη του L

E(xe,ye) άλλαξα το σημείο που διέρχεται ο κύκλος

 \rho =\sqrt{(x-xe)^{2}+(y-ye)^{2}} είναι η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου

A(x,y) το κέντρο του ζητούμενου κύκλου

οι αρχικές εξισώσεις έχουν ριζικά οπότε θα χρειαστεί να υψώσουμε στο τετράγωνο

χρειαζόμαστε geogebra για τις πεπλεγμένες συναρτήσεις
τελευταία επεξεργασία από polysindos σε Πέμ Νοέμ 24, 2022 9:19 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
polysindos
Δημοσιεύσεις: 151
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 10:18 am

Re: Κατασκευή κύκλου (1η)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysindos » Πέμ Νοέμ 24, 2022 7:28 am

θεώρημα Stewart στο AKL


AK^{2}\cdot OL+AL^{2}\cdot OK=AO^{2}\cdot KL+KO\cdot OL\cdot KL


AK=r-\rho

OL=xl

AL=R-\rho

OK=R-xl

KL=R

AO=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
τελευταία επεξεργασία από polysindos σε Πέμ Νοέμ 24, 2022 8:51 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
polysindos
Δημοσιεύσεις: 151
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 10:18 am

Re: Κατασκευή κύκλου (1η)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysindos » Πέμ Νοέμ 24, 2022 7:57 am

Το εμβαδόν του AKL με δύο τρόπους


\frac{1}{4}\cdot \sqrt{r\cdot (r+2\cdot R-\rho)\cdot(r-2 \cdot\rho ) (2\cdot R-r)}=\frac{1}{2}\cdot R\cdot y


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5730
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Κατασκευή κύκλου (1η)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Παρ Νοέμ 25, 2022 10:04 am

Βέβαια, και για να μη ξεχνιόμαστε, να αναφέρουμε για το πρόβλημα ότι πρόκειται για την Απολλώνια Κατασκευή που γίνεται με κανόνα και διαβήτη:
Κατασκευή κύκλου διερχόμενου από δοθέν σημείο και εφαπτόμενου σε δύο δοθέντες κύκλους.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2042
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Κατασκευή κύκλου (1η)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Παρ Νοέμ 25, 2022 9:53 pm

Screenshot_20221125_214219.jpg
Screenshot_20221125_214219.jpg (343.87 KiB) Προβλήθηκε 134 φορές
Δίνονται οι κόκκινοι κύκλοι και το σημείο Ε. Ζητάμε τους πράσινους κύκλους.

ΑΔ είναι η διακεντρική των δύο κόκκινων κύκλων.

Θεωρούμε την αντιστροφή που στέλνει τον ένα κόκκινο κύκλο στον άλλον. ( έχει κέντρο το σημείο τομής των εφαπτομένων των δύο κύκλων και ακτίνα αντιστροφής ίση με την απόσταση του εν λόγω κέντρου από τα σημεία τομής των δύο κύκλων).

Αυτή στέλνει τους πράσινους κύκλους στον εαυτό τους, επομένως το Ζ είναι γνωστό σαν το αντίστροφο του Ε.

Φορσέ το ΑΖΕΔ είναι εγγράψιμο και έστω ότι ο κύκλος του επανατέμνει τον έναν κόκκινο κύκλο στο Η.

Η ευθεία ΗΔ τέμνει την ΖΕ στο Θ το οποίο, επομένως, είναι γνωστό. Επειδή

(ΘΕ)(ΘΖ)=(ΘΔ)(ΘΗ)

οι εφαπτόμενες από το Θ στον κόκκινο κύκλο εφάπτονται και στους πράσινους κύκλους.

Αλλά τα σημεία επαφής Ι και Λ είναι γνωστά. Επομένως για κάθε πράσινο κύκλο γνωρίζουμε τρία σημεία (τα Ε, Ζ, Ι για τον έναν και τα Ε, Ζ, Λ για τον άλλον), οπότε τους κατασκευάζουμε.

Έτσι έχουμε την κατασκευή:
Φέρνουμε τις κοινές εφαπτόμενες των κύκλων που τέμνονται στο Κ.
Γράφουμε τον κύκλο ΑΕΔ. Τέμνει την ΚΕ στο Ζ και επανατέμνει τον έναν από τους δοσμένους κύκλους στο Η.
Η ευθεία ΗΔ τέμνει την ΖΕ στο Θ. Φέρνουμε τις εφαπτόμενες ΘΙ και ΘΛ, από το Θ στον ίδιο με παραπάνω δοσμένο κύκλο.

Οι ζητούμενο κύκλοι είναι οι ΕΖΙ και ΕΖΛ.


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 2240
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Κατασκευή κύκλου (1η)

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Σάβ Νοέμ 26, 2022 7:16 pm

KDORTSI έγραψε:
Παρ Νοέμ 18, 2022 1:55 pm
Να κατασκευαστεί ο εγγεγραμμένος κύκλος στο κοινό τμήμα \displaystyle{(\Omega)} δυο δοθέντων κύκλων \displaystyle{C_1(K,R) } και \displaystyle{C_2(L,r)}
ο οποίος να διέρχεται από το δοθέν σημείο \displaystyle{A} του κοινου αυτού τμήματος, όπως φαίνεται και στο ακόλουθο σχήμα. Αν είναι δυνατόν
να χρωματιστεί, όπως φαίνεται και στην εικόνα αυτή.
Κατασκευή κύκλου 1.png
rek2 έγραψε:
Παρ Νοέμ 25, 2022 9:53 pm
Screenshot_20221125_214219.jpg
Δίνονται οι κόκκινοι κύκλοι και το σημείο Ε. Ζητάμε τους πράσινους κύκλους.

ΑΔ είναι η διακεντρική των δύο κόκκινων κύκλων.

Θεωρούμε την αντιστροφή που στέλνει τον ένα κόκκινο κύκλο στον άλλον. ( έχει κέντρο το σημείο τομής των εφαπτομένων των δύο κύκλων και ακτίνα αντιστροφής ίση με την απόσταση του εν λόγω κέντρου από τα σημεία τομής των δύο κύκλων).

Αυτή στέλνει τους πράσινους κύκλους στον εαυτό τους, επομένως το Ζ είναι γνωστό σαν το αντίστροφο του Ε.

Φορσέ το ΑΖΕΔ είναι εγγράψιμο και έστω ότι ο κύκλος του επανατέμνει τον έναν κόκκινο κύκλο στο Η.

Η ευθεία ΗΔ τέμνει την ΖΕ στο Θ το οποίο, επομένως, είναι γνωστό. Επειδή

(ΘΕ)(ΘΖ)=(ΘΔ)(ΘΗ)

οι εφαπτόμενες από το Θ στον κόκκινο κύκλο εφάπτονται και στους πράσινους κύκλους.

Αλλά τα σημεία επαφής Ι και Λ είναι γνωστά. Επομένως για κάθε πράσινο κύκλο γνωρίζουμε τρία σημεία (τα Ε, Ζ, Ι για τον έναν και τα Ε, Ζ, Λ για τον άλλον), οπότε τους κατασκευάζουμε.

Έτσι έχουμε την κατασκευή:
Φέρνουμε τις κοινές εφαπτόμενες των κύκλων που τέμνονται στο Κ.
Γράφουμε τον κύκλο ΑΕΔ. Τέμνει την ΚΕ στο Ζ και επανατέμνει τον έναν από τους δοσμένους κύκλους στο Η.
Η ευθεία ΗΔ τέμνει την ΖΕ στο Θ. Φέρνουμε τις εφαπτόμενες ΘΙ και ΘΛ, από το Θ στον ίδιο με παραπάνω δοσμένο κύκλο.

Οι ζητούμενο κύκλοι είναι οι ΕΖΙ και ΕΖΛ.
Κώστα Καλησπέρα...

Η λύση σου ωραία και η χρηση της αντιστροφής αποτελεσματική!

Και εγώ θα αναρτήσω τη δικιά μου λύση κάνοντας χρήση της αντιστροφής, αλλά με διαφορετικό τρόπο.

Εσύ με την αντιστροφή σου μετασχημάτισες τους δύο κύκλους σε δύο πάλι κύκλους και κέρδισες ένα ακόμα σημείο

με το οποίο έφτασες στην κατασκευή.

Εγώ με την αντιστροφή θα μετασχηματίσω τους δύο κύκλους σε δυο ευθείες και το σημείο σε ένα άλλο. Έτσι θα

αναχθώ στην απλούστερη μορφή της κατασκευής κύκλου που διέρχεται από δοθέν σημείο και εφάπτεται σε δυο κύκλους.

Να είσαι καλά!

Κώστας Δόρτσιος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 3 επισκέπτες