Κατασκευή κύκλου (1η)

#1

Να κατασκευαστεί ο εγγεγραμμένος κύκλος στο κοινό τμήμα $\displaystyle{(\Omega)}$ δυο δοθέντων κύκλων $\displaystyle{C_1(K,R) }$ και $\displaystyle{C_2(L,r)}$
ο οποίος να διέρχεται από το δοθέν σημείο $\displaystyle{A}$ του κοινου αυτού τμήματος, όπως φαίνεται και στο ακόλουθο σχήμα. Αν είναι δυνατόν
να χρωματιστεί, όπως φαίνεται και στην εικόνα αυτή.

: Κατασκευή κύκλου 1.png (17.84 KiB) Προβλήθηκε 823 φορές

polysindos · #2

(R² (R - xl) + r² xl - R (R - xl) xl + R (xe² - 2x xe + ye² - 2y ye))² = (2R (R - xl) + 2xl r)² ((x - xe)² + (y - ye)²)

(r (2R - r) (2R r + r² + 4 ((x - xe)² + (y - ye)²)) - 4R² y²)² = 16(R + r)² r² (2R - r)² ((x - xe)² + (y - ye)²)

η κατασκευή του κύκλου γίνεται με το geogebra

polysindos · #3

η πρώτη εξίσωση βγαίνει από το θεώρημα Stewart στο τρίγωνο AKL με πλευρές $R,R-\rho ,r-\rho$
και η δεύτερη από τον υπολογισμό του εμβαδού του AKL με δύο τρόπους ένας από τον τον τύπο του Ήρωνα και ο άλλος βάση R και ύψος y

xl είναι η τετμημένη του L

E(xe,ye) άλλαξα το σημείο που διέρχεται ο κύκλος

$\rho =\sqrt{(x-xe)^{2}+(y-ye)^{2}}$ είναι η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου

A(x,y) το κέντρο του ζητούμενου κύκλου

οι αρχικές εξισώσεις έχουν ριζικά οπότε θα χρειαστεί να υψώσουμε στο τετράγωνο

χρειαζόμαστε geogebra για τις πεπλεγμένες συναρτήσεις

polysindos · #4

θεώρημα Stewart στο AKL

$AK^{2}\cdot OL+AL^{2}\cdot OK=AO^{2}\cdot KL+KO\cdot OL\cdot KL$

$AK=r-\rho$

OL=xl

$AL=R-\rho$

OK=R-xl

$AO=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

polysindos · #5

Το εμβαδόν του AKL

με δύο τρόπους

$\frac{1}{4}\cdot \sqrt{r\cdot (r+2\cdot R-\rho)\cdot(r-2 \cdot\rho ) (2\cdot R-r)}=\frac{1}{2}\cdot R\cdot y$

S.E.Louridas · #6

Βέβαια, και για να μη ξεχνιόμαστε, να αναφέρουμε για το πρόβλημα ότι πρόκειται για την Απολλώνια Κατασκευή που γίνεται με κανόνα και διαβήτη:
Κατασκευή κύκλου διερχόμενου από δοθέν σημείο και εφαπτόμενου σε δύο δοθέντες κύκλους.

#7

: Screenshot_20221125_214219.jpg (343.87 KiB) Προβλήθηκε 562 φορές

Δίνονται οι κόκκινοι κύκλοι και το σημείο Ε. Ζητάμε τους πράσινους κύκλους.

ΑΔ είναι η διακεντρική των δύο κόκκινων κύκλων.

Θεωρούμε την αντιστροφή που στέλνει τον ένα κόκκινο κύκλο στον άλλον. ( έχει κέντρο το σημείο τομής των εφαπτομένων των δύο κύκλων και ακτίνα αντιστροφής ίση με την απόσταση του εν λόγω κέντρου από τα σημεία τομής των δύο κύκλων).

Αυτή στέλνει τους πράσινους κύκλους στον εαυτό τους, επομένως το Ζ είναι γνωστό σαν το αντίστροφο του Ε.

Φορσέ το ΑΖΕΔ είναι εγγράψιμο και έστω ότι ο κύκλος του επανατέμνει τον έναν κόκκινο κύκλο στο Η.

Η ευθεία ΗΔ τέμνει την ΖΕ στο Θ το οποίο, επομένως, είναι γνωστό. Επειδή

(ΘΕ)(ΘΖ)=(ΘΔ)(ΘΗ)

οι εφαπτόμενες από το Θ στον κόκκινο κύκλο εφάπτονται και στους πράσινους κύκλους.

Αλλά τα σημεία επαφής Ι και Λ είναι γνωστά. Επομένως για κάθε πράσινο κύκλο γνωρίζουμε τρία σημεία (τα Ε, Ζ, Ι για τον έναν και τα Ε, Ζ, Λ για τον άλλον), οπότε τους κατασκευάζουμε.

Έτσι έχουμε την κατασκευή:
Φέρνουμε τις κοινές εφαπτόμενες των κύκλων που τέμνονται στο Κ.
Γράφουμε τον κύκλο ΑΕΔ. Τέμνει την ΚΕ στο Ζ και επανατέμνει τον έναν από τους δοσμένους κύκλους στο Η.
Η ευθεία ΗΔ τέμνει την ΖΕ στο Θ. Φέρνουμε τις εφαπτόμενες ΘΙ και ΘΛ, από το Θ στον ίδιο με παραπάνω δοσμένο κύκλο.

Οι ζητούμενο κύκλοι είναι οι ΕΖΙ και ΕΖΛ.

#8

KDORTSI έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 18, 2022 1:55 pm
Να κατασκευαστεί ο εγγεγραμμένος κύκλος στο κοινό τμήμα $\displaystyle{(\Omega)}$ δυο δοθέντων κύκλων $\displaystyle{C_1(K,R) }$ και $\displaystyle{C_2(L,r)}$
ο οποίος να διέρχεται από το δοθέν σημείο $\displaystyle{A}$ του κοινου αυτού τμήματος, όπως φαίνεται και στο ακόλουθο σχήμα. Αν είναι δυνατόν
να χρωματιστεί, όπως φαίνεται και στην εικόνα αυτή.

Κατασκευή κύκλου 1.png

rek2 έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 25, 2022 9:53 pm

Screenshot_20221125_214219.jpg
Δίνονται οι κόκκινοι κύκλοι και το σημείο Ε. Ζητάμε τους πράσινους κύκλους.

ΑΔ είναι η διακεντρική των δύο κόκκινων κύκλων.

Θεωρούμε την αντιστροφή που στέλνει τον ένα κόκκινο κύκλο στον άλλον. ( έχει κέντρο το σημείο τομής των εφαπτομένων των δύο κύκλων και ακτίνα αντιστροφής ίση με την απόσταση του εν λόγω κέντρου από τα σημεία τομής των δύο κύκλων).

Αυτή στέλνει τους πράσινους κύκλους στον εαυτό τους, επομένως το Ζ είναι γνωστό σαν το αντίστροφο του Ε.

Φορσέ το ΑΖΕΔ είναι εγγράψιμο και έστω ότι ο κύκλος του επανατέμνει τον έναν κόκκινο κύκλο στο Η.

Η ευθεία ΗΔ τέμνει την ΖΕ στο Θ το οποίο, επομένως, είναι γνωστό. Επειδή

(ΘΕ)(ΘΖ)=(ΘΔ)(ΘΗ)

οι εφαπτόμενες από το Θ στον κόκκινο κύκλο εφάπτονται και στους πράσινους κύκλους.

Αλλά τα σημεία επαφής Ι και Λ είναι γνωστά. Επομένως για κάθε πράσινο κύκλο γνωρίζουμε τρία σημεία (τα Ε, Ζ, Ι για τον έναν και τα Ε, Ζ, Λ για τον άλλον), οπότε τους κατασκευάζουμε.

Έτσι έχουμε την κατασκευή:
Φέρνουμε τις κοινές εφαπτόμενες των κύκλων που τέμνονται στο Κ.
Γράφουμε τον κύκλο ΑΕΔ. Τέμνει την ΚΕ στο Ζ και επανατέμνει τον έναν από τους δοσμένους κύκλους στο Η.
Η ευθεία ΗΔ τέμνει την ΖΕ στο Θ. Φέρνουμε τις εφαπτόμενες ΘΙ και ΘΛ, από το Θ στον ίδιο με παραπάνω δοσμένο κύκλο.

Οι ζητούμενο κύκλοι είναι οι ΕΖΙ και ΕΖΛ.

Κώστα Καλησπέρα...

Η λύση σου ωραία και η χρηση της αντιστροφής αποτελεσματική!

Και εγώ θα αναρτήσω τη δικιά μου λύση κάνοντας χρήση της αντιστροφής, αλλά με διαφορετικό τρόπο.

Εσύ με την αντιστροφή σου μετασχημάτισες τους δύο κύκλους σε δύο πάλι κύκλους και κέρδισες ένα ακόμα σημείο

με το οποίο έφτασες στην κατασκευή.

Εγώ με την αντιστροφή θα μετασχηματίσω τους δύο κύκλους σε δυο ευθείες και το σημείο σε ένα άλλο. Έτσι θα

αναχθώ στην απλούστερη μορφή της κατασκευής κύκλου που διέρχεται από δοθέν σημείο και εφάπτεται σε δυο κύκλους.

Να είσαι καλά!

Κώστας Δόρτσιος

#9

KDORTSI έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 18, 2022 1:55 pm
Να κατασκευαστεί ο εγγεγραμμένος κύκλος στο κοινό τμήμα $\displaystyle{(\Omega)}$ δυο δοθέντων κύκλων $\displaystyle{C_1(K,R) }$ και $\displaystyle{C_2(L,r)}$
ο οποίος να διέρχεται από το δοθέν σημείο $\displaystyle{A}$ του κοινου αυτού τμήματος, όπως φαίνεται και στο ακόλουθο σχήμα. Αν είναι δυνατόν
να χρωματιστεί, όπως φαίνεται και στην εικόνα αυτή.

Καλησπέρα...

Θα προσπαθήσω να υλοποιήσω την ιδέα που ανάφερα περιληπτικά στην απάντησή μου στον Κώστα Ρεκούμη.

Έχουμε στόχο να κατασκευάσουμε έναν κύκλο όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα 1.

: Σχήμα 1.png (15.05 KiB) Προβλήθηκε 377 φορές

Ας δούμε στο σχήμα 2 τους κύκλους και το σχήμα αυτό με μια άλλη ματιά...

: Σχήμα 2 .png (19.48 KiB) Προβλήθηκε 377 φορές

Από το σχήμα αυτό φαίνεται ότι είναι η απολλώνια κατασκευτή που ζητά κύκλο να εφάπτεται σε δύο αλλους και να διέρχεται από

δοθέν σημείο, όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα 3.

: Σχήμα 3.png (17.1 KiB) Προβλήθηκε 377 φορές

Υπάρχουν πολλές ιδέες. Εδώ θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο της αντιστροφής για να απλοποιήσουμε την όλη κατασκευή.

Θεωρούμε ως κύκλο αντιστροφής έναν τυχαίο κύκλο με κέντρο στο σημείο $\displaystyle{C}$ και στη συνέχεια βρίσκουμε τις εικόνες

των δύο κύκλων και του δοθέντος σημείου $\displaystyle{A}$ , όπως φαίνεται στο σχήμα 4.

: Σχήμα 4.png (34.4 KiB) Προβλήθηκε 377 φορές

Στο σχήμα 4 φαίνονται οι ευθείες $\displaystyle{(d_1)}$ , $\displaystyle{(d_2)}$ και το σημείο $\displaystyle{M}$ που είναι οι αντίστροφες εικόνες των κύκλων

$\displaystyle{C(K, R)}$ , $\displaystyle{C(L,r)}$ και του σημείου $\displaystyle{A}$ .

Ας δούμε το σχήμα αυτό πιο απλοποιημένο ως εξής στο σχήμα 5.

: Σχήμα 5.png (17.15 KiB) Προβλήθηκε 377 φορές

Επομένως το πρόβλημα έχει αναχθεί στην κατασκευή κύκλου που να εφάπτεται δυο δοθεισών ευθειών και να διέρχεται

από δοθέν σημείο.

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

#10

KDORTSI έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 18, 2022 1:55 pm
Να κατασκευαστεί ο εγγεγραμμένος κύκλος στο κοινό τμήμα $\displaystyle{(\Omega)}$ δυο δοθέντων κύκλων $\displaystyle{C_1(K,R) }$ και $\displaystyle{C_2(L,r)}$
ο οποίος να διέρχεται από το δοθέν σημείο $\displaystyle{A}$ του κοινου αυτού τμήματος, όπως φαίνεται και στο ακόλουθο σχήμα. Αν είναι δυνατόν
να χρωματιστεί, όπως φαίνεται και στην εικόνα αυτή.

(Συνέχεια...)

Καλημέρα....

Προτού να κλείσω την όλη κατασκευή, θα ήθελα να φανεί μέσα από ένα δυναμικό αρχείο, η όλη διαδικασία της
αντιστροφής που εφαρμόστηκε στους δύο κύκλους και στο δοθέν σημείο $\displaystyle{A}$ και έδωσε ως αποτέλεσμα
τις δυο ευθείες $\displaystyle{(d_1),(d_2)}$ και τη σημειακή εικόνα $\displaystyle{M}$ .

Παραθέτω το αρχικό στιγμιότυπο:

: Σχήμα 8.png (27.02 KiB) Προβλήθηκε 340 φορές

και στη συνέχεια το τελικό στιγμιότυπο:

: Σχήμα 9.png (21.86 KiB) Προβλήθηκε 340 φορές

Για να δείτε πώς από το πρώτο σχήμα πήγαμε στο δεύτερο μπορείτε να επισκεφθείτε το σύνδεσμο:

https://www.geogebra.org/m/hmxwg4mp

(συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

#11

KDORTSI έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 18, 2022 1:55 pm
Να κατασκευαστεί ο εγγεγραμμένος κύκλος στο κοινό τμήμα $\displaystyle{(\Omega)}$ δυο δοθέντων κύκλων $\displaystyle{C_1(K,R) }$ και $\displaystyle{C_2(L,r)}$
ο οποίος να διέρχεται από το δοθέν σημείο $\displaystyle{A}$ του κοινου αυτού τμήματος, όπως φαίνεται και στο ακόλουθο σχήμα. Αν είναι δυνατόν να χρωματιστεί, όπως φαίνεται και στην εικόνα αυτή.

(Τελική κατασκευή...)

Καλημέρα...

Παραθέτω την τελική κατασκευή του αρχικού αυτού προβλήματος.

: Σχήμα 10.png (22.4 KiB) Προβλήθηκε 276 φορές

Στο ανωτέρω σχήμα φαίνεται ότι είναι εύκολο να βρούμε έναν κύκλο ο οποίος εφάπτεται των δύο

ευθειών $\displaystyle{(d_1)}$ και $\displaystyle{(d_2)}$ και ο οποίος διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{M}$ .

Προφανώς ο ζητούμενος κύκλος θα διέρχεται και από το συμμετρικό $\displaystyle{M_1}$ του σημείου $\displaystyle{M}$ ως προς τη

διχοτόμο της γωνίας των ευθειών αυτών η οποία περιλαμβάνει το σημείο $\displaystyle{M}$ . Έτσι το πρόβλημα ανάγεται

σε απλούστερο, δηλαδή στην κατασκευή κύκλου ο οποίος να διέρχεται από δυο δοθέντα σημεία και να εφάπτεται

δοθείσης ευθείας.

Έτσι όπως σημειώθηκε στο σχήμα 10, βρέθηκε το σημείο $\displaystyle{T}$ επί της $\displaystyle{(d_1)}$ τέτοιο ώστε:

$\displaystyle{(PT)^2=(PM)(PM_1)}$

Έτσι ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο $\displaystyle{(TMM_1)}$ είναι ο ζητούμενος στη φάση αυτή.

Σημειώνεται ότι γενικά υπάρχουν δύο λύσεις.

Τελική διαδικασία:

Τον κύκλο αυτό, καθώς και τα τρία υπόλοιπα στοιχεία, δηλαδή τις δυο ευθείες $\displaystyle{(d_1), (d_2) }$ και το

σημείο $\displaystyle{M}$ τα "μετακινούμε" στην αρχική τους θέση με τον αντίστροφο γεωμετρικό της αντιστροφής που

εφαρμόσαμε στις προηγούμενες φάσεις και έτσι λαμβάνουμε το σχήμα 11.

: Σχήμα 11.png (28.8 KiB) Προβλήθηκε 276 φορές

Στο σχήμα αυτό έγινε και ο επιθυμητός χρωματισμός!!

Επειδή έχει κατά τη γνώμη μου ενδιαφέρον η όλη αυτή διαδικασία,παραθέτω και τον παρακάτω

σύνδεσμο για καλύτερη κατανόηση του μετασχηματισμού που εφαρμόστηκε.

https://www.geogebra.org/m/gnrqq5hw

Κώστας Δόρτσιος

Κατασκευή κύκλου (1η)

Κατασκευή κύκλου (1η)

Re: Κατασκευή κύκλου (1η)

Re: Κατασκευή κύκλου (1η)

Re: Κατασκευή κύκλου (1η)

Re: Κατασκευή κύκλου (1η)

Re: Κατασκευή κύκλου (1η)

Re: Κατασκευή κύκλου (1η)

Re: Κατασκευή κύκλου (1η)

Re: Κατασκευή κύκλου (1η)

Re: Κατασκευή κύκλου (1η)

Re: Κατασκευή κύκλου (1η)

Μέλη σε σύνδεση