Όλων των ειδών

KARKAR · #1

: Όλων των ειδών.png (7.55 KiB) Προβλήθηκε 370 φορές

$\bigstar$ Το σημείο

είναι σταθερό , ενώ τα B , C

κινούνται επί των ευθειών $\varepsilon , \varepsilon'$ αντίστοιχα , έτσι

ώστε : SB>TC

και

. Βρείτε όλες τις περιπτώσεις , στις οποίες το τρίγωνο ABC

καθίσταται ισοσκελές ή ορθογώνιο . Εξετάστε και πότε γίνεται : $\widehat{BAC}=45^0$ .

vgreco · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 27, 2022 1:15 pm
Το σημείο είναι σταθερό , ενώ τα κινούνται επί των ευθειών $\varepsilon , \varepsilon'$ αντίστοιχα , έτσι

ώστε : και . Βρείτε όλες τις περιπτώσεις , στις οποίες το τρίγωνο

καθίσταται ισοσκελές ή ορθογώνιο . Εξετάστε και πότε γίνεται : $\widehat{BAC}=45^0$ .

Συμπληρώνω το παραλληλόγραμμο BSTD

. Προφανώς CD = 3

και άρα $\boxed{TC + 3 = SB}$

: parallelogram.png (10.86 KiB) Προβλήθηκε 264 φορές

Περιπτώσεις που είναι ισοσκελές:

. Εύκολα, τότε, $SB = \sqrt{21}$ και η θέση του προσδιορίζεται σχετικά απλά.
. Όμοια με πιο πάνω, $TC = \sqrt{21}$ και βρίσκουμε εύκολα τη θέση του .
. Όμως τότε θα ήταν , άτοπο.

Περιπτώσεις που είναι ορθογώνιο:

$\widehat{A} = 90^\circ$ .

A_90.png (10.86 KiB) Προβλήθηκε 264 φορές

Τότε, από την ομοιότητα των $\triangle BSA$ , $\triangle TCA$ :

$\displaystyle{\dfrac{2}{x + 3} = \dfrac{x}{2} \Leftrightarrow x^2 + 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \boxed{x = 1}}$

Άρα και .
$\widehat{C} = 90^\circ$

C_90.png (10.86 KiB) Προβλήθηκε 264 φορές

Τότε:

$\displaystyle{\left(x^2 + 4 \right) + 25 = (x + 3)^2 + 4 \Leftrightarrow 29 = 6x + 13 \Leftrightarrow \boxed{x = \dfrac{8}{3}}}$

Άρα $TC = \dfrac{8}{3}$ και $SB = \dfrac{17}{3}$ .
$\widehat{B} = 90^\circ$ . Όμως τότε θα έπρεπε $AC > AB \Rightarrow x^2 + 4 > x^2 + 6x + 13$ , άτοπο.

: A_45.png (10.98 KiB) Προβλήθηκε 264 φορές

Όταν $\widehat{BAC} = 45^\circ$ , τότε:

$\begin{aligned} \varphi + \theta = 135^\circ &\Leftrightarrow \tan(\varphi + \theta) = -1 \\ &\Leftrightarrow \tan\varphi + \tan\theta = \tan\varphi \tan\theta - 1 \\ &\Leftrightarrow \dfrac{2x + 3}{2} = \dfrac{x^2 + 3x - 4}{4} \\ &\Leftrightarrow x^2 - x - 10 = 0 \\ &\Leftrightarrow \boxed{x = \dfrac{1 + \sqrt{41}}{2}} \end{aligned}$

... και λοιπά.

Όλων των ειδών

Όλων των ειδών

Re: Όλων των ειδών

Μέλη σε σύνδεση