Ενδιαφέρουσα χορδή

KARKAR · #1

: Ενδιαφέρουσα χορδή.png (13.47 KiB) Προβλήθηκε 415 φορές

Ο κύκλος

διέρχεται από το κέντρο του κύκλου (O ,R) , (R/2<r <R )

και τον τέμνει στα σημεία

και

. Συνδέουμε το

με το αντιδιαμετρικό

του

και ονομάζουμε

την τομή του (K)

με το

. Υπολογίστε το τμήμα

.

Henri van Aubel · #2

Καλησπέρα!!

Εύκολα είναι $\angle AST=\angle AOT=90^\circ,$ άρα $K\in AT$ και TA=TB=2r.

Τώρα εύκολα είναι $\displaystyle \frac {OB}{TB}=\frac {R}{2r}=\frac {SB}{2R}=\frac {2r+ST}{2R} \Longleftrightarrow \boxed {ST=\frac {R^{2}-2r^{2}}{r}}$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 30, 2022 7:51 pm
Ενδιαφέρουσα χορδή.pngΟ κύκλος διέρχεται από το κέντρο του κύκλου

και τον τέμνει στα σημεία και . Συνδέουμε το με το αντιδιαμετρικό του

και ονομάζουμε την τομή του με το . Υπολογίστε το τμήμα .

Επειδή $\widehat {{S_{}}} = 90^\circ$ και το τετράπλευρο ASTO

εγγράψιμο , αναγκαστικά $OT \bot AB$ και άρα το

είναι απόστημα,

Επί πλέον δε η

είναι διάμετρος του μικρού κύκλου και TB = TA = 2r

. Ας είναι ST = x

.

: Ενδιαφέρουσα χορδή.png (18.55 KiB) Προβλήθηκε 374 φορές

Από τη δύναμη του σημείου

ως προς το μικρό κύκλο ( ή με ομοιότητα των $\vartriangle BOT\,\,,\,\,\vartriangle BSA$ ) έχω :

$BT \cdot BS = BO \cdot BA \Rightarrow 2r\left( {2r + x} \right) = 2{R^2} \Rightarrow \boxed{x = \frac{{{R^2} - 2{r^2}}}{r}}$ .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 30, 2022 7:51 pm
Ενδιαφέρουσα χορδή.pngΟ κύκλος διέρχεται από το κέντρο του κύκλου

και τον τέμνει στα σημεία και . Συνδέουμε το με το αντιδιαμετρικό του

και ονομάζουμε την τομή του με το . Υπολογίστε το τμήμα .

Εύκολα, $\displaystyle A\widehat OT = A\widehat ST = A\widehat SB = 90^\circ ,TB = AT = 2r.$ Με Π.Θ στα ASB, AST

έχω:

: Ενδιαφέρουσα χορδή.png (17.4 KiB) Προβλήθηκε 341 φορές

$\displaystyle A{B^2} = A{S^2} + S{B^2} = A{T^2} - T{S^2} + S{B^2} \Leftrightarrow 4{R^2} = 4{r^2} - {x^2} + {(x + 2r)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=\frac{R^2-2r^2}{r}}$

Ενδιαφέρουσα χορδή

Ενδιαφέρουσα χορδή

Re: Ενδιαφέρουσα χορδή

Re: Ενδιαφέρουσα χορδή

Re: Ενδιαφέρουσα χορδή

Μέλη σε σύνδεση