Τριπλάσιο

KARKAR · #1

: Τριπλάσιο.png (7.89 KiB) Προβλήθηκε 479 φορές

Σε σημείο

του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει τις προεκτάσεις

των OA , OB

, στα σημεία P , T

αντίστοιχα . Για ποια θέση του

, προκύπτει : PS=3ST ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 28, 2022 12:00 pm
Τριπλάσιο.pngΣε σημείο του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει τις προεκτάσεις

των , στα σημεία αντίστοιχα . Για ποια θέση του , προκύπτει :

Aν $\widehat {SOA} = \theta$ , η δοθείσα γράφεται $R\tan \theta = \dfrac {3R} {\tan \theta}$ . Άρα $\tan ^2 \theta = 3$ , οπότε $\theta = 60^o$ .

Βγαίνει εύκολα και καθαρά γεωμετρικά (Πυθαγόρειο) αλλά το αφήνω.

Henri van Aubel · #3

Στο ορθογώνιο τρίγωνο OTP

, το

είναι ύψος.

Είναι πασίγνωστη η σχέση $\displaystyle OS^{2}=ST \cdot SP$

Οπότε έχουμε $\displaystyle OS^{2}=3 ST^{2}$ .

Πιο απλά $\displaystyle \frac {OS}{ST}=\tan \angle OTP=\sqrt {3}$

Τελικά $\displaystyle \boxed { \angle OTP=60^\circ}$ .

Με πρόλαβε ο κύριος Λάμπρου. Το αφήνω για την πληκτρολόγηση.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 28, 2022 12:00 pm
Τριπλάσιο.pngΣε σημείο του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει τις προεκτάσεις

των , στα σημεία αντίστοιχα . Για ποια θέση του , προκύπτει :

Ας είναι λυμένο το πρόβλημα . Θέτω : $BT = x\,\,,\,\,TS = k \Rightarrow SP = 3k$ . Με

την ακτίνα του ημικυκλίου έχω :

$\left\{ \begin{gathered} O{S^2} = TS \cdot SP \hfill \\ T{S^2} = TB \cdot \left( {TB + 2TO} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {R^2} = 3{k^2} \hfill \\ {k^2} = x\left( {x + 2R} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{{x^2} + 2Rx - \frac{{{R^2}}}{3} = 0}$ . Άρα $\boxed{x = R\frac{{2\sqrt 3 - 3}}{3}}$ .

: tτριπλάσιο.png (11.15 KiB) Προβλήθηκε 463 φορές

Αφού προσδιοριστεί το

από την πιο πάνω , φέρνω εφαπτομένη του ημικυκλίου που διέρχεται από το

.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 28, 2022 12:00 pm
Τριπλάσιο.pngΣε σημείο του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει τις προεκτάσεις

των , στα σημεία αντίστοιχα . Για ποια θέση του , προκύπτει :

Επειδή : $\left\{ \begin{gathered} O{S^2} = TS \cdot SP \hfill \\ S{P^2} = PA \cdot PJ \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {R^2} = 3{k^2} \hfill \\ 9{k^2} = x\left( {x + 2R} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow x = R$ .

: tτριπλάσιο_new.png (14.34 KiB) Προβλήθηκε 447 φορές

Δηλαδή στο ορθογώνιο $\vartriangle SOP$ η SA = R

( διάμεσος προς υποτείνουσα).

Αρκεί λοιπόν να γράψουμε το κύκλο $\left( {A,R} \right)$ και θα κόψει το τεταρτοκύκλιο στο

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 28, 2022 12:00 pm
Τριπλάσιο.pngΣε σημείο του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει τις προεκτάσεις

των , στα σημεία αντίστοιχα . Για ποια θέση του , προκύπτει :

Κατασκευάζουμε τo κοινό εφαπτόμενο τμήμα των κύκλων (O,R)

και $(A, \dfrac{R}{2})$ που

τέμνει την

στο

και την

στο

.Τότε,

(Η απόδειξη , απλή )

: Τριπλάσιο.png (9.61 KiB) Προβλήθηκε 406 φορές

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 28, 2022 12:00 pm
Τριπλάσιο.pngΣε σημείο του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , φέρουμε εφαπτομένη , η οποία τέμνει τις προεκτάσεις

των , στα σημεία αντίστοιχα . Για ποια θέση του , προκύπτει :

Παρόμοιο.

: Τριπλάσιο.Κ.png (12.62 KiB) Προβλήθηκε 405 φορές

$\displaystyle O{P^2} = PS \cdot PT = 12{x^2} = 4(3{x^2}) = 4PS \cdot ST = 4O{S^2} = {(2R)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{OP=2R}$

Άρα από το σταθερό σημείο

φέρνω την εφαπτομένη του τεταρτοκυκλίου και προσδιορίζω το ζητούμενο σημείο

KARKAR · #8

: Τριπλάσιο.png (10.74 KiB) Προβλήθηκε 368 φορές

Η μεσοκάθετη της

, "δίνει" το

. Δες τε το σχήμα !

nickchalkida · #9

Τριπλάσιο

Τριπλάσιο

Re: Τριπλάσιο

Re: Τριπλάσιο

Re: Τριπλάσιο

Re: Τριπλάσιο

Re: Τριπλάσιο

Re: Τριπλάσιο

Re: Τριπλάσιο

Re: Τριπλάσιο

Μέλη σε σύνδεση