Λόγος που δεν λέγεται

KARKAR · #1

: Λόγος που δεν λέγεται.png (8.12 KiB) Προβλήθηκε 515 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD

τα τρία μπλε τρίγωνα είναι ισεμβαδικά . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(AEF)}{(ABF)}$ .

kkala · #2

: logosfs.png (12.82 KiB) Προβλήθηκε 378 φορές

Έστω

Επειδή τα 0ρθογώνια τρίγωνα ADE,ECF,FBA

έχουν ίσα εμβαδά, είναι
$bx=(a-x)y=a(b-y) \Leftrightarrow y=bx/(a-x)\wedge bx=a(b-(bx/(a-x))$ . Στο σύστημα τούτο (άγνωστοι x, y

, δύο εξισώσεις), η τελευταία εξίσωση καταλήγει στην δευτεροβάθμια bx^2-3abx+a^2b=0

$\Leftrightarrow x=a(3\pm \sqrt{5})/2.$ Μόνο η ρίζα $x=a(3-\sqrt{5})/2$ είναι δεκτή, διότι 0<x<a

(βλέπε Sch 2)
Συνεπώς $(ADE)=bx/2=ab(3-\sqrt{5})/4$ και $(AEF)=(ABCD)-3(ADE)=ab(3\sqrt{5}-5)/4$
οπότε $(AEF)/(ABF)=(AEF)/(ADF)=\sqrt{5}$ (μετά τις πράξεις και την μετατροπή του παρονομαστού του κλάσματος σε ρητό).
Ώστε ο ζητούμενος λόγος είναι $\sqrt{5}$ , το "δε λέγεται" διότι είναι αριθμός άρρητος.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Σημ. Από το παραπάνω σύστημα $y=bx/(a-x)=b(\sqrt{5}-1)/2$ , και επαληθεύεται ότι $(ADE)=(ECF)=(ABF)=ab(3-\sqrt{5})/4$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 22, 2022 1:59 pm
Λόγος που δεν λέγεται.pngΣτο ορθογώνιο τα τρία μπλε τρίγωνα είναι ισεμβαδικά . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(AEF)}{(ABF)}$ .

Να συμπληρώσω ότι : $\boxed{\frac{{EC}}{{ED}} = \frac{{FC}}{{FB}} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi }$

και η Γεωμετρική κατασκευή( χρυσή τομή) είναι εύκολη με κανόνα και διαβήτη.

Άλλο ένα ωραίο θέμα του Θανάση ( μάλλον από το εργαστήριό του)

Λόγος που δεν λέγεται

Λόγος που δεν λέγεται

Re: Λόγος που δεν λέγεται

Re: Λόγος που δεν λέγεται

Μέλη σε σύνδεση