Εύρεση τρίτης πλευράς τριγώνου

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3377
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Εύρεση τρίτης πλευράς τριγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Αύγ 03, 2022 10:44 am

shape.jpg
shape.jpg (23.71 KiB) Προβλήθηκε 253 φορές
Το τρίγωνο ABC, του παραπάνω σχήματος, έχει χωριστεί σε τρία ισεμβαδικά τρίγωνα. Αν BC = 2AB = 36\,cm και AE = 13\,cm, να βρείτε το μήκος της πλευράς AC.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1632
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Εύρεση τρίτης πλευράς τριγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Αύγ 03, 2022 4:37 pm

Καλησπέρα σε όλους, γεια σου Μιχάλη!

Ας δώσω την απάντηση και αργότερα απόδειξη, αν δεν καλυφθεί.

Βρίσκω AC=30 . Άρση απόκρυψης: Η λύση που είχα κατά νου καλύφθηκε πλήρως από τις αναρτήσεις #4 και #5 παρακάτω.

Φιλικά, Γιώργος
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Μήτσιος σε Τετ Αύγ 03, 2022 10:37 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2266
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Εύρεση τρίτης πλευράς τριγώνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Αύγ 03, 2022 7:45 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Τετ Αύγ 03, 2022 10:44 am
shape.jpgΤο τρίγωνο ABC, του παραπάνω σχήματος, έχει χωριστεί σε τρία ισεμβαδικά τρίγωνα. Αν BC = 2AB = 36\,cm και AE = 13\,cm, να βρείτε το μήκος της πλευράς AC.
Εστω ότι AK\perp BD,CL\perp BD

(ABE)=(AED)=(BDC)\Rightarrow BE=ED,2CL=AK,AD=2DC,,

BE=ED=y,DC=x,AD=2x, Από το νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα

ABD,ABC,4y^{2}=18^{2}+4x^{2}-2.18.2x.cosA,(1), 36^{2}=18^{2}+9x^{2}-2.18.3x.cosA,(2), 

           (1),(2)\Rightarrow 2y^{2}+x^{2}=27.18,(*),

Στο τρίγωνο ABD,18^{2}+4x^{2}=2.13^{2}+2y^{2},(**),

               (*),(**)\Rightarrow x=10,AC=30
Συνημμένα
Ευρεση τρίτης πλευράς τριγώνου.png
Ευρεση τρίτης πλευράς τριγώνου.png (9.83 KiB) Προβλήθηκε 167 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ
Δημοσιεύσεις: 86
Εγγραφή: Παρ Μάιος 17, 2013 8:15 am

Re: Εύρεση τρίτης πλευράς τριγώνου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ » Τετ Αύγ 03, 2022 8:29 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Τετ Αύγ 03, 2022 10:44 am
Το τρίγωνο ABC, του παραπάνω σχήματος, έχει χωριστεί σε τρία ισεμβαδικά τρίγωνα. Αν BC = 2AB = 36\,cm και AE = 13\,cm, να βρείτε το μήκος της πλευράς AC.
ΑΣΚΗΣΗ ΜΙΚΕ 3-8-22.png
ΑΣΚΗΣΗ ΜΙΚΕ 3-8-22.png (24 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές
Έστω \left( {{\rm A}{\rm B}{\rm E}} \right) = \left( {{\rm A}{\rm E}\Delta } \right) = \left( {{\rm B}\Delta \Gamma } \right) = {\rm E}\,\,(1)

Τότε: \left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right) = 3 \cdot {\rm E}\,\,(2)

\displaystyle \dfrac{{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}}{{\left( {{\rm B}\Gamma \Delta } \right)}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2} \cdot {\upsilon _{{\rm A}\Gamma }} \cdot {\rm A}\Gamma }}{{\dfrac{1}{2} \cdot {\upsilon _{{\rm A}\Gamma }} \cdot \Gamma \Delta }} = \dfrac{{{\rm A}\Gamma }}{{\Gamma \Delta }}\mathop  \Rightarrow \limits_{(2)}^{(1)} \dfrac{{3 \cdot {\rm E}}}{{\rm E}} = \dfrac{{{\rm A}\Gamma }}{{\Gamma \Delta }} \Rightarrow x = {\rm A}\Gamma  = 3 \cdot \Gamma \Delta \,\,\left( 3 \right)

Επίσης: \displaystyle \dfrac{{\left( {{\rm A}{\rm B}\Delta } \right)}}{{\left( {{\rm B}\Gamma \Delta } \right)}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2} \cdot {\upsilon _{{\rm A}\Gamma }} \cdot {\rm A}\Delta }}{{\dfrac{1}{2} \cdot {\upsilon _{{\rm A}\Gamma }} \cdot \Gamma \Delta }} = \dfrac{{{\rm A}\Delta }}{{\Gamma \Delta }}\mathop  \Rightarrow \limits_{(2)}^{(1)} \dfrac{{2 \cdot {\rm E}}}{{\rm E}} = \dfrac{{{\rm A}\Delta }}{{\Gamma \Delta }} \Rightarrow {\rm A}\Delta  = 2 \cdot \Gamma \Delta \,\,\left( 4 \right)

Επειδή \left( {{\rm A}{\rm B}{\rm E}} \right) = \left( {{\rm A}\Delta {\rm E}} \right) \Rightarrow \dfrac{1}{2} \cdot {\upsilon _{{\rm B}\Delta }} \cdot {\rm B}{\rm E} = \dfrac{1}{2} \cdot {\upsilon _{{\rm B}\Delta }} \cdot {\rm E}\Delta  \Rightarrow {\rm B}{\rm E} = {\rm E}\Delta  = \beta , άρα:
{\rm E} μέσον της {\rm B}\Delta . \displaystyle \left( 5 \right)

Έστω \displaystyle {\rm M} το μέσον της {\rm B}\Gamma \displaystyle \left( 6 \right)και {\rm M}{\rm E} = \alpha \,\,\left( 7 \right)

Από \displaystyle \left( 5 \right),{\rm{ }}\left( 6 \right) προκύπτει: {\rm M}{\rm E} = \dfrac{{\Gamma \Delta }}{2}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 7 \right)} \Gamma \Delta  = 2\alpha \,\,\left( 8 \right)

Επομένως, x = {\rm A}\Gamma \mathop  = \limits^{(3)} 3 \cdot \Gamma \Delta \mathop  = \limits^{(8)} 3\left( {2\alpha } \right) \Rightarrow x = {\rm A}\Gamma  = 6\alpha \,\,\left( 9 \right)

Εφαρμόζω 1ο Θεώρημα Διαμέσων στο τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Delta :
{\rm A}{{\rm B}^2} + {\rm A}{\Delta ^2} = 2 \cdot {\rm A}{{\rm E}^2} + \dfrac{{{\rm B}{\Delta ^2}}}{2} \Rightarrow {18^2} + {\left( {4\alpha } \right)^2} = 2 \cdot {13^2} + \dfrac{{{{\left( {2\beta } \right)}^2}}}{2} \Rightarrow 8{\alpha ^2} - {\beta ^2} = 7\,\,\left( {10} \right)
Εφαρμόζω Θεώρημα STEWART στο τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma για το σημείο Δ:
\displaystyle \begin{array}{l} 
 
{\rm A}\Delta  \cdot {\rm B}{\Gamma ^2} + \Gamma \Delta  \cdot {\rm A}{{\rm B}^2} = {\rm A}\Gamma \left( {{\rm B}{\Delta ^2} + {\rm A}\Delta  \cdot \Gamma \Delta } \right) \Rightarrow 4\alpha  \cdot {\left( {2 \cdot 18} \right)^2} + 2\alpha  \cdot {18^2} = \\ 
6\alpha \left( {{{\left( {2\beta } \right)}^2} + \left( {4\alpha } \right) \cdot \left( {2\alpha } \right)} \right) \Rightarrow 2{\alpha ^2} + {\beta ^2} = 243\,\,(11) 
\end{array}

Λύνω το σύστημα των (10),(11): \left\{ \begin{array}{l} 
8{\alpha ^2} - {\beta ^2} = 7\\ 
2{\alpha ^2} + {\beta ^2} = 243 
\end{array} \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{( + )} 10{\alpha ^2} = 250 \Rightarrow \alpha  = 5\,\,(12)

Τέλος από \displaystyle \left( 9 \right)και \displaystyle \left( {12} \right)έχουμε: x = {\rm A}\Gamma  = 6 \cdot 5 \Rightarrow {\rm A}\Gamma  = 30.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8695
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εύρεση τρίτης πλευράς τριγώνου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Αύγ 03, 2022 8:39 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Τετ Αύγ 03, 2022 10:44 am
shape.jpgΤο τρίγωνο ABC, του παραπάνω σχήματος, έχει χωριστεί σε τρία ισεμβαδικά τρίγωνα. Αν BC = 2AB = 36\,cm και AE = 13\,cm, να βρείτε το μήκος της πλευράς AC.

\vartriangle ABC: B{D^2} \cdot AC = A{B^2} \cdot DC + B{C^2} \cdot AD - AC \cdot AD \cdot DC (Stewart)


ABD: A{B^2} + A{D^2} = 2 \cdot A{E^2} + \dfrac{{B{D^2}}}{2}. ( Θ. διαμέσων )
Εύρεση τριτης πλευράς.png
Εύρεση τριτης πλευράς.png (22.78 KiB) Προβλήθηκε 149 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  2{x^2} + {y^2} = 486 \hfill \\ 
  {x^2} - 2{y^2} =  - 7 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  2{x^2} + {y^2} = 486 \hfill \\ 
   - 2{x^2} + 4{y^2} = 14 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow 5{y^2} = 500 \Rightarrow y = 10 \Rightarrow \boxed{AC = 30}


cool geometry
Δημοσιεύσεις: 112
Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am

Re: Εύρεση τρίτης πλευράς τριγώνου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cool geometry » Τετ Αύγ 03, 2022 9:13 pm

Νίκο :clap: :first: :coolspeak: :10sta10:


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2320
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Εύρεση τρίτης πλευράς τριγώνου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Αύγ 04, 2022 10:38 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Τετ Αύγ 03, 2022 10:44 am
shape.jpgΤο τρίγωνο ABC, του παραπάνω σχήματος, έχει χωριστεί σε τρία ισεμβαδικά τρίγωνα. Αν BC = 2AB = 36\,cm και AE = 13\,cm, να βρείτε το μήκος της πλευράς AC.
Ποφανώς E είναι μέσον της BD κι αν Z μέσον της AD και H μέσον της BC θα ισχύει AZ=ZD=DC=x και EH=// \dfrac{x}{2}

Άρα,αν οι AE,ZH τέμνονται στο P θα είναι AE=EP=13 και ZH=HP


Ο Μενέλαος στο τρίγωνο AHC με διατέμνουσα ZQB δίνει \dfrac{CZ}{ZA}  .  \dfrac{AQ}{QH}  .  \dfrac{BH}{BC} =1 \Rightarrow 2.\dfrac{AQ}{QH} . \dfrac{1}{2}=1  \Rightarrow AQ=QH

Συνεπώς BQ μεσοκάθετη της AH οπότε AZ=ZH=HP=x και το πρώτο θ.διαμέσου

το τρίγωνο AZP δίνει x=10 άρα AC=30
Τρίτη πλευρά τριγώνου.png
Τρίτη πλευρά τριγώνου.png (84.71 KiB) Προβλήθηκε 83 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες