Εύρεση τρίτης πλευράς τριγώνου

Ιστοσελίδα · #1

: shape.jpg (23.71 KiB) Προβλήθηκε 253 φορές

Το τρίγωνο ABC

, του παραπάνω σχήματος, έχει χωριστεί σε τρία ισεμβαδικά τρίγωνα. Αν $BC = 2AB = 36\,cm$ και $AE = 13\,cm$ , να βρείτε το μήκος της πλευράς AC.

Γιώργος Μήτσιος · #2

Καλησπέρα σε όλους, γεια σου Μιχάλη!

Ας δώσω την απάντηση και αργότερα απόδειξη, αν δεν καλυφθεί.

Βρίσκω AC=30

. Άρση απόκρυψης: Η λύση που είχα κατά νου καλύφθηκε πλήρως από τις αναρτήσεις #4 και #5 παρακάτω.

Φιλικά, Γιώργος

STOPJOHN · #3

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 03, 2022 10:44 am
shape.jpgΤο τρίγωνο , του παραπάνω σχήματος, έχει χωριστεί σε τρία ισεμβαδικά τρίγωνα. Αν $BC = 2AB = 36\,cm$ και $AE = 13\,cm$ , να βρείτε το μήκος της πλευράς

Εστω ότι $AK\perp BD,CL\perp BD$

$(ABE)=(AED)=(BDC)\Rightarrow BE=ED,2CL=AK,AD=2DC,$ ,

BE=ED=y,DC=x,AD=2x,

Από το νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα

$ABD,ABC,4y^{2}=18^{2}+4x^{2}-2.18.2x.cosA,(1), 36^{2}=18^{2}+9x^{2}-2.18.3x.cosA,(2), (1),(2)\Rightarrow 2y^{2}+x^{2}=27.18,(*),$

Στο τρίγωνο $ABD,18^{2}+4x^{2}=2.13^{2}+2y^{2},(**), (*),(**)\Rightarrow x=10,AC=30$

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #4

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 03, 2022 10:44 am
Το τρίγωνο , του παραπάνω σχήματος, έχει χωριστεί σε τρία ισεμβαδικά τρίγωνα. Αν $BC = 2AB = 36\,cm$ και $AE = 13\,cm$ , να βρείτε το μήκος της πλευράς

: ΑΣΚΗΣΗ ΜΙΚΕ 3-8-22.png (24 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές

Έστω $\left( {{\rm A}{\rm B}{\rm E}} \right) = \left( {{\rm A}{\rm E}\Delta } \right) = \left( {{\rm B}\Delta \Gamma } \right) = {\rm E}\,\,(1)$

Τότε: $\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right) = 3 \cdot {\rm E}\,\,(2)$

$\displaystyle \dfrac{{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma } \right)}}{{\left( {{\rm B}\Gamma \Delta } \right)}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2} \cdot {\upsilon _{{\rm A}\Gamma }} \cdot {\rm A}\Gamma }}{{\dfrac{1}{2} \cdot {\upsilon _{{\rm A}\Gamma }} \cdot \Gamma \Delta }} = \dfrac{{{\rm A}\Gamma }}{{\Gamma \Delta }}\mathop \Rightarrow \limits_{(2)}^{(1)} \dfrac{{3 \cdot {\rm E}}}{{\rm E}} = \dfrac{{{\rm A}\Gamma }}{{\Gamma \Delta }} \Rightarrow x = {\rm A}\Gamma = 3 \cdot \Gamma \Delta \,\,\left( 3 \right)$

Επίσης: $\displaystyle \dfrac{{\left( {{\rm A}{\rm B}\Delta } \right)}}{{\left( {{\rm B}\Gamma \Delta } \right)}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2} \cdot {\upsilon _{{\rm A}\Gamma }} \cdot {\rm A}\Delta }}{{\dfrac{1}{2} \cdot {\upsilon _{{\rm A}\Gamma }} \cdot \Gamma \Delta }} = \dfrac{{{\rm A}\Delta }}{{\Gamma \Delta }}\mathop \Rightarrow \limits_{(2)}^{(1)} \dfrac{{2 \cdot {\rm E}}}{{\rm E}} = \dfrac{{{\rm A}\Delta }}{{\Gamma \Delta }} \Rightarrow {\rm A}\Delta = 2 \cdot \Gamma \Delta \,\,\left( 4 \right)$

Επειδή $\left( {{\rm A}{\rm B}{\rm E}} \right) = \left( {{\rm A}\Delta {\rm E}} \right) \Rightarrow \dfrac{1}{2} \cdot {\upsilon _{{\rm B}\Delta }} \cdot {\rm B}{\rm E} = \dfrac{1}{2} \cdot {\upsilon _{{\rm B}\Delta }} \cdot {\rm E}\Delta \Rightarrow {\rm B}{\rm E} = {\rm E}\Delta = \beta$ , άρα:
${\rm E}$ μέσον της ${\rm B}\Delta$ . $\displaystyle \left( 5 \right)$

Έστω $\displaystyle {\rm M}$ το μέσον της ${\rm B}\Gamma$ $\displaystyle \left( 6 \right)$ και ${\rm M}{\rm E} = \alpha \,\,\left( 7 \right)$

Από $\displaystyle \left( 5 \right),{\rm{ }}\left( 6 \right)$ προκύπτει: ${\rm M}{\rm E} = \dfrac{{\Gamma \Delta }}{2}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 7 \right)} \Gamma \Delta = 2\alpha \,\,\left( 8 \right)$

Επομένως, $x = {\rm A}\Gamma \mathop = \limits^{(3)} 3 \cdot \Gamma \Delta \mathop = \limits^{(8)} 3\left( {2\alpha } \right) \Rightarrow x = {\rm A}\Gamma = 6\alpha \,\,\left( 9 \right)$

Εφαρμόζω 1ο Θεώρημα Διαμέσων στο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Delta$ :
${\rm A}{{\rm B}^2} + {\rm A}{\Delta ^2} = 2 \cdot {\rm A}{{\rm E}^2} + \dfrac{{{\rm B}{\Delta ^2}}}{2} \Rightarrow {18^2} + {\left( {4\alpha } \right)^2} = 2 \cdot {13^2} + \dfrac{{{{\left( {2\beta } \right)}^2}}}{2} \Rightarrow 8{\alpha ^2} - {\beta ^2} = 7\,\,\left( {10} \right)$
Εφαρμόζω Θεώρημα STEWART στο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ για το σημείο Δ:
$\displaystyle \begin{array}{l} {\rm A}\Delta \cdot {\rm B}{\Gamma ^2} + \Gamma \Delta \cdot {\rm A}{{\rm B}^2} = {\rm A}\Gamma \left( {{\rm B}{\Delta ^2} + {\rm A}\Delta \cdot \Gamma \Delta } \right) \Rightarrow 4\alpha \cdot {\left( {2 \cdot 18} \right)^2} + 2\alpha \cdot {18^2} = \\ 6\alpha \left( {{{\left( {2\beta } \right)}^2} + \left( {4\alpha } \right) \cdot \left( {2\alpha } \right)} \right) \Rightarrow 2{\alpha ^2} + {\beta ^2} = 243\,\,(11) \end{array}$

Λύνω το σύστημα των (10),(11)

: $\left\{ \begin{array}{l} 8{\alpha ^2} - {\beta ^2} = 7\\ 2{\alpha ^2} + {\beta ^2} = 243 \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{( + )} 10{\alpha ^2} = 250 \Rightarrow \alpha = 5\,\,(12)$

Τέλος από $\displaystyle \left( 9 \right)$ και $\displaystyle \left( {12} \right)$ έχουμε: $x = {\rm A}\Gamma = 6 \cdot 5 \Rightarrow {\rm A}\Gamma = 30.$

#5

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 03, 2022 10:44 am
shape.jpgΤο τρίγωνο , του παραπάνω σχήματος, έχει χωριστεί σε τρία ισεμβαδικά τρίγωνα. Αν $BC = 2AB = 36\,cm$ και $AE = 13\,cm$ , να βρείτε το μήκος της πλευράς

$\vartriangle ABC$ : $B{D^2} \cdot AC = A{B^2} \cdot DC + B{C^2} \cdot AD - AC \cdot AD \cdot DC$ ( Stewart

)

: $A{B^2} + A{D^2} = 2 \cdot A{E^2} + \dfrac{{B{D^2}}}{2}$ . ( Θ. διαμέσων )

: Εύρεση τριτης πλευράς.png (22.78 KiB) Προβλήθηκε 149 φορές

$\left\{ \begin{gathered} 2{x^2} + {y^2} = 486 \hfill \\ {x^2} - 2{y^2} = - 7 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 2{x^2} + {y^2} = 486 \hfill \\ - 2{x^2} + 4{y^2} = 14 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow 5{y^2} = 500 \Rightarrow y = 10 \Rightarrow \boxed{AC = 30}$

cool geometry · #6

Νίκο

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 03, 2022 10:44 am
shape.jpgΤο τρίγωνο , του παραπάνω σχήματος, έχει χωριστεί σε τρία ισεμβαδικά τρίγωνα. Αν $BC = 2AB = 36\,cm$ και $AE = 13\,cm$ , να βρείτε το μήκος της πλευράς

Ποφανώς

είναι μέσον της

κι αν

μέσον της

και

μέσον της

θα ισχύει

και $EH=// \dfrac{x}{2}$

Άρα,αν οι AE,ZH

τέμνονται στο

θα είναι

και

Ο Μενέλαος στο τρίγωνο AHC

με διατέμνουσα ZQB

δίνει $\dfrac{CZ}{ZA} . \dfrac{AQ}{QH} . \dfrac{BH}{BC} =1 \Rightarrow 2.\dfrac{AQ}{QH} . \dfrac{1}{2}=1 \Rightarrow AQ=QH$

Συνεπώς

μεσοκάθετη της

οπότε

και το πρώτο θ.διαμέσου

το τρίγωνο AZP

δίνει

άρα

: Τρίτη πλευρά τριγώνου.png (84.71 KiB) Προβλήθηκε 83 φορές

Εύρεση τρίτης πλευράς τριγώνου

Εύρεση τρίτης πλευράς τριγώνου

Re: Εύρεση τρίτης πλευράς τριγώνου

Re: Εύρεση τρίτης πλευράς τριγώνου

Re: Εύρεση τρίτης πλευράς τριγώνου

Re: Εύρεση τρίτης πλευράς τριγώνου

Re: Εύρεση τρίτης πλευράς τριγώνου

Re: Εύρεση τρίτης πλευράς τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση