Τρίτο τμήμα (τος )

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13524
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τρίτο τμήμα (τος )

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μάιος 23, 2022 2:47 pm

Τρίτο  τμήμα (τος).png
Τρίτο τμήμα (τος).png (8.96 KiB) Προβλήθηκε 315 φορές
Το CD εφάπτεται στο ημικύκλιο και : ED \parallel  AB . Υπολογίστε το : \dfrac{AS}{SB}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4446
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Τρίτο τμήμα (τος )

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Μάιος 23, 2022 10:07 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Μάιος 23, 2022 2:47 pm
Τρίτο τμήμα (τος).png Το CD εφάπτεται στο ημικύκλιο και : ED \parallel  AB . Υπολογίστε το : \dfrac{AS}{SB}
Καθαρά εντός φακέλου (έχουμε και εκτός αλλά μετά την επόμενη λύση)

Έστω F το σημείο τομής της BC με τον κύκλο \left( O \right) . Τότε από το ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο \vartriangle ABC\overset{\angle FBA={{45}^{0}}}{\mathop{\Rightarrow }}\,F είναι ο «βόρειος πόλος» του \left( O \right) (μιλάμε για πολύ κρύο ! εκεί :lol: )

Με ED\parallel AB\Rightarrow AEDB ισοσκελές τραπέζιο (εγγεγραμμένο τραπέζιο σε κύκλο) οπότε το τρίγωνο \vartriangle TAB είναι ισοσκελές άρα T,F,O συνευθειακά, όπως φυσικά (λόγω των εφαπτομένων τμημάτων) και το τρίγωνο \vartriangle CAD\left( CA=CD \right) .
Τρίτο τμήμα (τος).png
Τρίτο τμήμα (τος).png (45.73 KiB) Προβλήθηκε 273 φορές
Από \angle CDA\overset{\upsilon \pi o\,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \varsigma ...}{\mathop{=}}\,\angle DBA\equiv \angle TBA προκύπτει ότι τα ως άνω ισοσκελή τρίγωνα είναι όμοια, άρα \angle ATD\equiv \angle ATB=\angle ACD\Rightarrow ACTD εγγράψιμο σε κύκλο και με \angle TDA={{90}^{0}} (AB διάμετρος του \left( O \right)) θα είναι και \angle ACT={{90}^{0}}\Rightarrow TC\bot AC\overset{AB\bot AC}{\mathop{\Rightarrow }}\,TC\parallel AB\Rightarrow \angle CTA=\angle BAT\overset{A,E,D,B\in \left( O \right)}{\mathop{=}}\,\angle CFE\Rightarrow CTFE εγγράψιμο σε κύκλο , οπότε \angle AES\overset{\kappa \alpha \tau \alpha \kappa o\rho \upsilon \varphi \eta \nu }{\mathop{=}}\,\angle CET\overset{E,C,F,T\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle TFC \overset{\kappa \alpha \tau \alpha \kappa o\rho \upsilon \varphi \eta \nu }{\mathop{=}}\,\angle OFB\overset{\vartriangle AFB\,\,o\rho \theta o\gamma \omega \nu \iota o\,\,\iota \sigma o\sigma \kappa \varepsilon \lambda \varepsilon \varsigma }{\mathop{=}}\,{{45}^{0}}\Rightarrow ES διέρχεται από τον «νότιο πόλο» N του \left( O \right) (εκεί να δεις ψόφο :mrgreen: ) και συνεπώς NO\bot AB\overset{CA\bot AB}{\mathop{\Rightarrow }}\,NO\parallel AC\Rightarrow \dfrac{AS}{SO}=\dfrac{AC}{ON}= \dfrac{AB}{ON}=\dfrac{2ON}{ON}=2\Rightarrow AS=\dfrac{2}{3}AO\overset{AB=2AO}{\mathop{=}}\,\dfrac{1}{3}AB\Rightarrow \dfrac{AS}{SB}=\dfrac{1}{2}


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8620
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρίτο τμήμα (τος )

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μάιος 26, 2022 9:33 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Μάιος 23, 2022 2:47 pm
Τρίτο τμήμα (τος).png Το CD εφάπτεται στο ημικύκλιο και : ED \parallel  AB . Υπολογίστε το : \dfrac{AS}{SB}
Τρίτο τμήμα_τος_a.png
Τρίτο τμήμα_τος_a.png (17.22 KiB) Προβλήθηκε 201 φορές
Σχηματίζω το τετράγωνο ABLC. Τα τετράπλευρα ABDE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,LCED είναι ισοσκελή τραπέζια .

Στο τραπέζιο, \,LCED οι διαγώνιες του CD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,LE είναι ίσες με μέτρο την πλευρά του τετραγώνου , άρα η LE είναι κι αυτή εφαπτόμενο τμήμα στο ημικύκλιο .

Επειδή , \widehat {{a_1}} = 135^\circ  \Rightarrow \widehat {{a_2}} = 45^\circ και άρα η ES είναι διχοτόμος του ορθογωνίου τριγώνου EAB.

Θεωρώ τώρα και το κάτω ημικύκλιο . Αν T η τομή της CS με αυτό , το T είναι ο νότιος πόλος του κύκλου .
Τρίτο τμήμα_τος_b.png
Τρίτο τμήμα_τος_b.png (24.39 KiB) Προβλήθηκε 201 φορές

Το τετράπλευρο ATDE είναι αρμονικό . Για κάθε σημείο P του κύκλου η δέσμη:

\left( {PD,PA\backslash PE,PT} \right) είναι αρμονική , άρα η δέσμη , \left( {BD,BA\backslash BE,BT} \right) είναι αρμονική.

Επειδή η DE//BA αν οι ευθείες BT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE τέμνονται στο N θα είναι : DE = DN \Rightarrow \boxed{MS = MB}\,\,\,\left( 1 \right)( λόγω κεντρικής δέσμης ) .

Αλλά αβίαστα προκύπτει ότι \vartriangle MBD = \vartriangle SAE \Rightarrow \boxed{MB = AS}\,\,\,\left( 2 \right)

Από τις \left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right) έχω: AS = SM = MB = \dfrac{1}{3} \cdot 2R \Rightarrow \boxed{\frac{{AS}}{{SB}} = \frac{1}{2}}


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4446
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Τρίτο τμήμα (τος )

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Μάιος 27, 2022 12:46 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Μάιος 23, 2022 2:47 pm
Τρίτο τμήμα (τος).png Το CD εφάπτεται στο ημικύκλιο και : ED \parallel  AB . Υπολογίστε το : \dfrac{AS}{SB}
Έχω υποσχεθεί ακόμα μια λύση και δεν το ξεχνώ :)

Έστω M το σημείο τομής της υποτείνουσας του ορθογωνίου ισοσκελούς τριγώνου \vartriangle ABC με τον κύκλο \left( O \right) (προφανώς πρόκειται για τον βόρειο πόλο) και ας είναι L\equiv OC\cap AD (προφανώς OC\bot AD )
Το ένα τρίτο τμήμα (τος) 1.png
Το ένα τρίτο τμήμα (τος) 1.png (34.35 KiB) Προβλήθηκε 176 φορές
Προφανώς H\equiv CO\cap AM είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου\vartriangle CKA (σημείο τομής δύο υψών του) λόγω ED\parallel AB\overset{M\,\,\beta o\rho \varepsilon \iota o\varsigma \,\,\pi o\lambda o\varsigma }{\mathop{\Rightarrow }}\,AM διχοτόμος της \angle EAD\overset{HE\bot AE,HL\bot AD}{\mathop{\Rightarrow }}\,AEHL χαρταετός και άρα AHM\bot EL\overset{AHM\bot CB}{\mathop{\Rightarrow }}\,EL\parallel CB\Rightarrow \angle LED=\angle ETM\overset{ED\parallel AB}{\mathop{=}}\,\angle MBA={{45}^{0}}:\left( 1 \right), όπου T\equiv BC\cap ED .

Η ES είναι η ευθεία της συμμετροδιαμέσου του τριγώνου \vartriangle EAD\Rightarrow \angle AES=\angle LED\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{=}}\,{{45}^{0}}\Rightarrow ES διέρχεται από τον νότιο πόλο του \left( O \right) (δηλαδή MON μεσοκάθετη της AB, άρα αν F\equiv AC\cap BN τότε N είναι το μέσο της BF και A το μέσο της CF (η διάμεσος του ορθογωνίου ισοσκελούς τριγώνου \vartriangle CBF και συνεπώς το S είναι το βαρύκεντρο του εν λόγω τριγώνου (σημείο τομής δύο διαμέσων του) και άρα \dfrac{AS}{SB}=\dfrac{1}{2}

Ίσως αύριο δούμε και άλλη λύση :D


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8620
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρίτο τμήμα (τος )

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Μάιος 27, 2022 10:47 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Μάιος 23, 2022 2:47 pm
Τρίτο τμήμα (τος).png Το CD εφάπτεται στο ημικύκλιο και : ED \parallel  AB . Υπολογίστε το : \dfrac{AS}{SB}
Τρίτο τμήμα_τος_στοιχειωδώς.png
Τρίτο τμήμα_τος_στοιχειωδώς.png (26.85 KiB) Προβλήθηκε 150 φορές
Σχηματίζω το τετράγωνο ABLC. Τα τετράπλευρα ABDE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,LCED είναι ισοσκελή τραπέζια .

Στο τραπέζιο, \,LCED οι διαγώνιες του CD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,LE είναι ίσες με μέτρο την πλευρά του τετραγώνου , άρα η LE είναι κι αυτή εφαπτόμενο τμήμα στο ημικύκλιο .

Επειδή , \widehat {{a_1}} = 135^\circ  \Rightarrow \widehat {{a_2}} = 45^\circ και άρα η ES είναι διχοτόμος του ορθογωνίου τριγώνου EAB.

Ας είναι τώρα M το μέσο του EB. Τα ορθογώνια τρίγωνα EAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MEL είναι προφανώς ίσα και άρα EB = 2EA.

Από το Θ. διχοτόμου στο \vartriangle EAB έχω: \boxed{\frac{{AS}}{{SB}} = \frac{{AE}}{{EB}} = \frac{1}{2}}


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4446
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Τρίτο τμήμα (τος )

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Μάιος 27, 2022 12:54 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Μάιος 23, 2022 2:47 pm
Τρίτο τμήμα (τος).png Το CD εφάπτεται στο ημικύκλιο και : ED \parallel  AB . Υπολογίστε το : \dfrac{AS}{SB}
Έστω H\equiv CO\cap AN,N\equiv \left( O \right)\cap BC . Προφανώς H το ορθόκεντρο του τριγώνου \vartriangle ACT,T\equiv AD\cap BC και συνεπώς TH\bot AC\overset{AC\bot AB}{\mathop{\Rightarrow }}\,TH\parallel AB\overset{\angle NAB=\angle NAC={{45}^{0}}}{\mathop{\Rightarrow }}\,HTBA ισοσκελές τραπέζιο και ας είναι L\equiv HB\cap AT (το σημείο τομής των διαγωνίων του) είναι σημείο της μεσοκαθέτου των βάσεών του δηλαδή της ON που είναι και η μεσοκάθετος της μιας βάσης το ισοσκελούς τραπεζίου EDBA\Rightarrow B,L,H,E συνευθειακά .

Το H είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου \vartriangle ABC (σημείο τομής δύο διαμέσων του (των AN,CO )) και συνεπώς η BHE διέρχεται από το μέσο M της AC
Τρίτο τμήμα (τος).png
Τρίτο τμήμα (τος).png (19.31 KiB) Προβλήθηκε 133 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \vartriangle ABM με ύψος προς την υποτείνουσά του το AE\Rightarrow \dfrac{EB}{EM}=\dfrac{A{{B}^{2}}}{A{{M}^{2}}}=\dfrac{A{{C}^{2}}}{A{{M}^{2}}}=\dfrac{4A{{M}^{2}}}{A{{M}^{2}}}=4

Από το Θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο \vartriangle AMB με διατέμνουσα την CES θα έχουμε: \dfrac{SA}{SB}\cdot \dfrac{EB}{EM}\cdot \dfrac{CM}{CA}=1\Rightarrow \dfrac{SA}{SB}\cdot 4\cdot \dfrac{1}{2}=1\Rightarrow \dfrac{SA}{SB}=\dfrac{1}{2}


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2289
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τρίτο τμήμα (τος )

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Μάιος 31, 2022 12:35 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Μάιος 23, 2022 2:47 pm
Τρίτο τμήμα (τος).png Το CD εφάπτεται στο ημικύκλιο και : ED \parallel  AB . Υπολογίστε το : \dfrac{AS}{SB}
Με Z συμμετρικό του D ως προς C είναι ZA \bot AD \Rightarrow ZA//DB \Rightarrow KDBA παραλ/μμο,άρα KD=2R

Λόγω και του ισοσκελούς τραπεζίου EDBA θα είναι KA=EA και \triangle KAE= \triangle  \triangle KAD= \triangle DAB= \triangle EAB

Λόγω ισότητας των κόκκινων γωνιών είναι

\triangle ZCA \simeq  \triangle EOB \Rightarrow  \dfrac{(ZCA)}{(EOB)}= (\dfrac{CA}{OB})^2=4 \Rightarrow  \dfrac{2(ZCA)}{2(EOB)}=4

\Rightarrow \dfrac{(ZDA)}{(KAD)}=4 \Rightarrow  \dfrac{ZA}{KA}=4 \Rightarrow \dfrac{ZK}{ZA}= \dfrac{3}{4}

Άρα (CAD)=(ZCA)=4(CKA) \Rightarrow  \dfrac{LE}{LD}= \dfrac{1}{4}

Ακόμη \dfrac{KD}{AM} = \dfrac{ZK}{ZA}= \dfrac{3}{4} \Rightarrow  \dfrac{2R}{AM}= \dfrac{3}{4}  \Rightarrow AM= \dfrac{8R}{3}

Τέλος,από θ.κ.δέσμης \dfrac{AS}{AM}= \dfrac{EL}{LD}= \dfrac{1}{4}  \Rightarrow AS= \dfrac{AM}{4} = \dfrac{2R}{3}  \Rightarrow  \dfrac{AS}{SB}= \dfrac{1}{2}
Τρίτο τμήμα.png
Τρίτο τμήμα.png (40.93 KiB) Προβλήθηκε 67 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες