Στο κέντρο τριγώνου.

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14444
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Στο κέντρο τριγώνου.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μάιος 20, 2022 2:27 pm

Ένα σημείο D βρίσκεται στο εσωτερικό τριγώνου ABC. Αν τα τρίγωνα ABD, \, BCD,\, CAD έχουν ίσα εμβαδά, τότε το D είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου ABC.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για να παιδιά μας.



Λέξεις Κλειδιά:
fogsteel
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 06, 2021 3:04 pm

Re: Στο κέντρο τριγώνου.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από fogsteel » Παρ Μάιος 20, 2022 8:36 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Μάιος 20, 2022 2:27 pm
Ένα σημείο D βρίσκεται στο εσωτερικό τριγώνου ABC. Αν τα τρίγωνα ABD, \, BCD,\, CAD έχουν ίσα εμβαδά, τότε το D είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου ABC.
geogebra-export (13).png
geogebra-export (13).png (232.53 KiB) Προβλήθηκε 201 φορές
1ος τρόπος
'Εστω πως η \displaystyle{AD} τέμνει την \displaystyle{BC} στο \displaystyle{M}.
Παρτηρούμε πως \displaystyle{\frac{(BDM)}{(ABD)} = \frac{(MDC)}{(ADC)} = \frac{AD}{DM} \Rightarrow (BDM) = (MDC) \Rightarrow M} μέσο της \displaystyle{BC}.
Κυκλικά προκύπτει το ζητούμενο


2ος τρόπος
Έστω \displaystyle{H, G} οι προβολές των \displaystyle{D, A} στην \displaystyle{BC} αντίστοιχα.
\displaystyle{(BDC) = \frac{1}{3} (ABC) \Rightarrow DH = \frac{1}{3} AG \Rightarrow DM = \frac{1}{2} AD } (1) από τα όμοια τρίγωνα \displaystyle{AGM , DHM}.

Άρα \displaystyle{ \frac{(BDM)}{(BDC)} = \frac{(BDM)}{(ABD)} =  \frac{DM}{AD}= \frac{1}{2} \Rightarrow M} μέσο της \displaystyle{BC} (2)

Από τις (1), (2) προκύπτει το ζητούμενο


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14444
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Στο κέντρο τριγώνου.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μάιος 20, 2022 10:14 pm

:10sta10: ..... + :10sta10:


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14444
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Στο κέντρο τριγώνου.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μάιος 20, 2022 10:29 pm

Έστω ότι το D δεν συμπίπτει με το βαρύκεντρο G του τριγώνου ABC. Τότε το G θα είναι σε κάποιο από τα ABD,\, BCD,\, CAD (εσωτερικό ή πλευρές). Π.χ. όπως στο σχήμα, όπου είναι στο ABD. Τότε από ιδιότητα του βαρυκέντρου έχουμε

\dfrac {1}{3} (ABC)= (ABG) <(ABD) = \dfrac {1}{3} (ABC). Άτοπο.
Συνημμένα
kentro varous.png
kentro varous.png (16.07 KiB) Προβλήθηκε 168 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11543
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Στο κέντρο τριγώνου.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μάιος 21, 2022 10:41 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Μάιος 20, 2022 2:27 pm
Ένα σημείο D βρίσκεται στο εσωτερικό τριγώνου ABC. Αν τα τρίγωνα ABD, \, BCD,\, CAD έχουν ίσα εμβαδά, τότε το D είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου ABC.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για να παιδιά μας.
Η AD τέμνει την BC στο M και έστω E, F οι προβολές των B, C στην AD.
Στο κέντρο τριγώνου.png
Στο κέντρο τριγώνου.png (11.08 KiB) Προβλήθηκε 121 φορές
\displaystyle 1 = \frac{{(ABD)}}{{(ACD)}} = \frac{{BE}}{{CF}} = \frac{{BM}}{{MC}} \Leftrightarrow BM = MC, άρα η AM είναι διάμεσος. Ομοίως και για τις άλλες.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης