Σχέσεις γωνιών ...χάριν λόγου

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1621
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Σχέσεις γωνιών ...χάριν λόγου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Μάιος 19, 2022 10:00 am

Καλημέρα.
19-5 Σχέσεις γωνιών ..χάριν λόγου..png
19-5 Σχέσεις γωνιών ..χάριν λόγου..png (112.57 KiB) Προβλήθηκε 111 φορές
Δίνεται το τρίγωνο ABC με 2\widehat{A}=3\widehat{B} και \widehat{C}> 4\widehat{B} ενώ το N \in AB ώστε \widehat{BCN}=2\widehat{B}.

Θεωρούμε την διχοτόμο CE και το Z στην προέκταση της BC ώστε EZ=EA

Αν ισχύει \widehat{ZAC}=\widehat{B} τότε: Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{AC}{NC} . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11550
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σχέσεις γωνιών ...χάριν λόγου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μάιος 20, 2022 9:15 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Πέμ Μάιος 19, 2022 10:00 am
Καλημέρα.
19-5 Σχέσεις γωνιών ..χάριν λόγου..png
Δίνεται το τρίγωνο ABC με 2\widehat{A}=3\widehat{B} και \widehat{C}> 4\widehat{B} ενώ το N \in AB ώστε \widehat{BCN}=2\widehat{B}.

Θεωρούμε την διχοτόμο CE και το Z στην προέκταση της BC ώστε EZ=EA

Αν ισχύει \widehat{ZAC}=\widehat{B} τότε: Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{AC}{NC} . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Θέτω \theta=2x και E\widehat ZC=y, οπότε διαμορφώνονται οι γωνίες που φαίνονται στο σχήμα.
Σχέσεις γωνιών...png
Σχέσεις γωνιών...png (19.01 KiB) Προβλήθηκε 59 φορές
\displaystyle \frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{BC}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{BE}}{{EZ}} = \frac{{BC}}{{AC}} και με νόμο ημιτόνων \displaystyle \frac{{\sin y}}{{\sin 2x}} = \frac{{\sin 3x}}{{\sin 2x}} \Leftrightarrow y = 3x (αφού είναι και οι δύο οξείες).

Άρα το AECZ είναι εγγράψιμο, οπότε το AEZ είναι ισόπλευρο και \displaystyle 5x = 60^\circ  \Leftrightarrow x = 12^\circ.

Με νόμο ημιτόνων στο ACN, είναι \displaystyle \frac{{AC}}{{CN}} = \frac{{\sin 6x}}{{\sin 3x}} = 2\cos 3x = 2\cos 36^\circ  \Leftrightarrow \boxed{ \frac{{AC}}{{NC}} = \Phi }


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες