Σχέσεις γωνιών ...χάριν λόγου

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα.

: 19-5 Σχέσεις γωνιών ..χάριν λόγου..png (112.57 KiB) Προβλήθηκε 309 φορές

Δίνεται το τρίγωνο ABC

με $2\widehat{A}=3\widehat{B}$ και $\widehat{C}> 4\widehat{B}$ ενώ το $N \in AB$ ώστε $\widehat{BCN}=2\widehat{B}$ .

Θεωρούμε την διχοτόμο και το

στην προέκταση της

ώστε

Αν ισχύει $\widehat{ZAC}=\widehat{B}$ τότε: Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{AC}{NC}$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 19, 2022 10:00 am
Καλημέρα.
19-5 Σχέσεις γωνιών ..χάριν λόγου..png
Δίνεται το τρίγωνο με $2\widehat{A}=3\widehat{B}$ και $\widehat{C}> 4\widehat{B}$ ενώ το $N \in AB$ ώστε $\widehat{BCN}=2\widehat{B}$ .

Θεωρούμε την διχοτόμο και το στην προέκταση της ώστε

Αν ισχύει $\widehat{ZAC}=\widehat{B}$ τότε: Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{AC}{NC}$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Θέτω $\theta=2x$ και $E\widehat ZC=y,$ οπότε διαμορφώνονται οι γωνίες που φαίνονται στο σχήμα.

: Σχέσεις γωνιών...png (19.01 KiB) Προβλήθηκε 257 φορές

$\displaystyle \frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{BC}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{BE}}{{EZ}} = \frac{{BC}}{{AC}}$ και με νόμο ημιτόνων $\displaystyle \frac{{\sin y}}{{\sin 2x}} = \frac{{\sin 3x}}{{\sin 2x}} \Leftrightarrow y = 3x$ (αφού είναι και οι δύο οξείες).

Άρα το AECZ

είναι εγγράψιμο, οπότε το AEZ

είναι ισόπλευρο και $\displaystyle 5x = 60^\circ \Leftrightarrow x = 12^\circ.$

Με νόμο ημιτόνων στο ACN,

είναι $\displaystyle \frac{{AC}}{{CN}} = \frac{{\sin 6x}}{{\sin 3x}} = 2\cos 3x = 2\cos 36^\circ \Leftrightarrow$ $\boxed{ \frac{{AC}}{{NC}} = \Phi }$

Σχέσεις γωνιών ...χάριν λόγου

Σχέσεις γωνιών ...χάριν λόγου

Re: Σχέσεις γωνιών ...χάριν λόγου

Μέλη σε σύνδεση