Εξαγωνικές ανησυχίες

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13455
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Εξαγωνικές ανησυχίες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Μάιος 14, 2022 8:43 am

Εξαγωνικές  ανησυχίες.png
Εξαγωνικές ανησυχίες.png (11.53 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές
Οι διαγώνιοι CE , DF του κανονικού εξαγώνου , τέμνονται στο σημείο S .

α) Δείξτε ότι το πράσινο , το μαύρο και το μοβ εμβαδά είναι ίσα .

β) Δείξτε ότι :  \dfrac{(SAB)}{E_{hexagon}}=\dfrac{5}{18} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11463
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξαγωνικές ανησυχίες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μάιος 14, 2022 11:12 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μάιος 14, 2022 8:43 am
Εξαγωνικές ανησυχίες.pngΟι διαγώνιοι CE , DF του κανονικού εξαγώνου , τέμνονται στο σημείο S .

α) Δείξτε ότι το πράσινο , το μαύρο και το μοβ εμβαδά είναι ίσα .

β) Δείξτε ότι :  \dfrac{(SAB)}{E_{hexagon}}=\dfrac{5}{18} .

α) Έστω O το κέντρο του εξαγώνου και a η πλευρά του. Τα ορθογώνια τρίγωνα EFS, DCS είναι προφανώς ίσα,

όπως και τα FAS, CBS. Άρα η πράσινη και η μαύρη περιοχή είναι ισεμβαδικές. Το εμβαδόν του κανονικού εξαγώνου

είναι \displaystyle {E_6} = 6(OAB) = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{2}. Εύκολα βρίσκω ότι \displaystyle FS = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }},ES = \frac{a}{{\sqrt 3 }}.
Εξαγωνικές ανησυχίες.png
Εξαγωνικές ανησυχίες.png (25.27 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές
Η μαύρη και η πράσινη περιοχή έχουν εμβαδόν \displaystyle {E_\mu } = {E_\pi } = \frac{{EF \cdot FS}}{2} + \frac{{AF \cdot FS}}{2} = ... = \frac{{{R^2}\sqrt 3 }}{6} = \frac{1}{3}{E_6}, άρα όλες οι περιοχές έχουν ίσα εμβαδά.

β) \displaystyle (SAB) = \frac{a}{2}\left( {SO + OM} \right) = \frac{a}{2}\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3} + \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) = \frac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{{12}} \Rightarrow \boxed{\frac{{(SAB)}}{{{E_6}}} = \frac{5}{{18}}}



Και μία επιπλέον πληροφορία: \displaystyle \frac{{(SED)}}{{(SAB)}} = \frac{1}{5}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5028
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Εξαγωνικές ανησυχίες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Μάιος 14, 2022 10:29 pm

Καλησπέρα σε όλους. Μια ακόμα απάντηση στο 1ο ερώτημα, δίχως υπολογισμούς.

14-05-2022 Γεωμετρία.png
14-05-2022 Γεωμετρία.png (38.08 KiB) Προβλήθηκε 89 φορές


Τα (ASEZ), (BSDC) είναι ισεμβαδικά (προφανές).

Για τη σύγκριση των (ASEZ), (SAB)+(SED):

EC=KL ως αποστάσεις απέναντι πλευρών κανονικού εξαγώνου.

ZS = SC, από τη σύγκριση των EZS, SDC.

Είναι  \displaystyle \left( {SAB} \right) + \left( {EDS} \right) = \frac{{{\lambda _6} \cdot KL}}{2} και  \displaystyle \left( {ASEZ} \right) = \left( {ASZ} \right) + \left( {EZS} \right) = \frac{{{\lambda _6}\left( {ES + ZS} \right)}}{2} = \frac{{{\lambda _6}EC}}{2} , οπότε είναι ίσα.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13455
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εξαγωνικές ανησυχίες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Μάιος 15, 2022 6:43 pm

Εξαγωνικές  ανησυχίες.png
Εξαγωνικές ανησυχίες.png (11.98 KiB) Προβλήθηκε 50 φορές
Για οποιαδήποτε θέση του S στο εσωτερικό του ορθογωνίου ABDE , το μοβ εμβαδόν

ισούται με το μισό εκείνου του ορθογωνίου , συνεπώς με το \dfrac{1}{3} του εμβαδού του εξαγώνου ...


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες