mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 26, 2022 1:39 pm**

: Λογικές τιμές.png (10.82 KiB) Προβλήθηκε 1105 φορές

$\bigstar$ Στο ημικύκλιο του σχήματος , το σημείο

είναι το μέσο του τόξου . Η κάθετη της

στο

τέμνει το τόξο στο σημείο

. α) Δείξτε ότι : $TS \perp SM$ ... β) Υπολογίστε τα : PM , MS , ST

.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 27, 2022 1:40 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 26, 2022 1:39 pm
Λογικές τιμές.png $\bigstar$ Στο ημικύκλιο του σχήματος , το σημείο είναι το μέσο του τόξου . Η κάθετη της στο

τέμνει το τόξο στο σημείο . α) Δείξτε ότι : $TS \perp SM$ ... β) Υπολογίστε τα : .

Ας είναι

το αντιδιαμετρικό του

και $OM = OF = R\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OP = r$ . Προφανώς , $MP = a = \sqrt {{R^2} - {r^2}}$ $\left( 1 \right)$ .

Φέρνω τώρα κάθετη στην

στο

και τέμνει τον κύκλο στο

. Ας είναι,

το μέσο του

.

$ON// = \dfrac{1}{2}SF$ , οπότε αν η

τέμνει τη διάμετρο

στο

θα είναι :

1. $FS \bot SM$ και $ON \bot MS\,\,$ .

2. $OT = r\,$ και άρα PB = AT = R - r

: Λογικές τιμές_Γενίκευση.png (19.04 KiB) Προβλήθηκε 1042 φορές

Θέτω $SN = u\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ST = b$ . Επειδή $\vartriangle OMP \approx \vartriangle NOM$ , έστω με λόγο ομοιότητας

θα ισχύουν :

$R = OM = ka \Rightarrow k = \dfrac{R}{a} = \dfrac{R}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }}\,\,\left( 2 \right)$ , $u = NM = kr = \dfrac{{Rr}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }}\,\,\,\left( 3 \right)$ και $ON = kR = \dfrac{{{R^2}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }}\,\,\,\left( 4 \right)$ .

Επειδή , a + b = 2ON

( διάμεσος τραπεζίου) θα προκύψει : $b = \dfrac{{{R^2} - {r^2}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }}$ .

Εφαρμογή: αν $R = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,r = 3$ οι πιο πάνω τύποι δίδουν: $a = 5\,\,,\,\,b = \dfrac{7}{5}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SM = 2u = \dfrac{{24}}{5}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 27, 2022 6:22 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 26, 2022 1:39 pm
Λογικές τιμές.png $\bigstar$ Στο ημικύκλιο του σχήματος , το σημείο είναι το μέσο του τόξου . Η κάθετη της στο

τέμνει το τόξο στο σημείο . α) Δείξτε ότι : $TS \perp SM$ ... β) Υπολογίστε τα : .

α) Φέρνω $\displaystyle OLN \bot MS$ όπως φαίνεται στο σχήμα. Το

είναι μέσο του

κι επειδή το

είναι

μέσο του TP,

το

θα είναι μέσο του MT,

άρα

και το ζητούμενο έπεται.

: Λογικές τιμές.png (17.92 KiB) Προβλήθηκε 1017 φορές

β) $\boxed{PM=5}$ Είναι $\displaystyle N\widehat MO = \theta$

ως συμπληρωματικές της $O\widehat MP),$ οπότε $\displaystyle \frac{{MN}}{4} = \cos \theta = \frac{3}{5} \Leftrightarrow$

$\boxed{MS = \frac{{24}}{5}}$ Τέλος με Πυθαγόρειο στο MST (MT=5),

προκύπτει $\boxed{ST=\frac{7}{5}}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 28, 2022 12:27 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 26, 2022 1:39 pm
Λογικές τιμές.png $\bigstar$ Στο ημικύκλιο του σχήματος , το σημείο είναι το μέσο του τόξου . Η κάθετη της στο

τέμνει το τόξο στο σημείο . α) Δείξτε ότι : $TS \perp SM$ ... β) Υπολογίστε τα : .

Έστω

αντιδιαμετρικό του

.Το

είναι ρόμβος πλευράς

,άρα $NT//PM \Rightarrow NT \bot MS$

Αλλά και $NS \bot MS$ άρα N,T,S

συνευθειακά και $TS \bot MS$

Είναι, $(MTNP)= \dfrac{6.8}{2}=24=5.MS \Rightarrow MS= \dfrac{24}{5}$ και με Π.Θ στο $\triangle MST \Rightarrow ST= \dfrac{7}{5}$

: Λογικές τιμές.png (24.36 KiB) Προβλήθηκε 980 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 28, 2022 7:36 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 26, 2022 1:39 pm
$\bigstar$ Στο ημικύκλιο του σχήματος , το σημείο είναι το μέσο του τόξου . Η κάθετη της στο

τέμνει το τόξο στο σημείο . α) Δείξτε ότι : $TS \perp SM$ ... β) Υπολογίστε τα : .

: 2022-03-28_7-33-27.jpg (19.37 KiB) Προβλήθηκε 963 φορές

Έστω $C \equiv MS \cap PA$

Το $\triangleleft POM$ είναι της μορφής (3,4,5)

, οπότε

και από το όμοιο του $\triangleleft PMC:CP = \dfrac{{25}}{3},\,CM = \dfrac{{20}}{3}$

Είναι $CA = CP - AP = \dfrac{4}{3}$ και από δύναμη σημείου: $CS \cdot CM = CA \cdot CB \Leftrightarrow CS = \dfrac{{28}}{{15}}$

Έτσι, $MS = CM - CS = \dfrac{{24}}{5}$ και από αντίστροφο Θαλή: $TS \bot SM$

Από $\triangleleft TSC \sim \triangleleft POM \Rightarrow ST = \dfrac{7}{5}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 28, 2022 8:41 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 26, 2022 1:39 pm
Λογικές τιμές.png $\bigstar$ Στο ημικύκλιο του σχήματος , το σημείο είναι το μέσο του τόξου . Η κάθετη της στο

τέμνει το τόξο στο σημείο . α) Δείξτε ότι : $TS \perp SM$ ... β) Υπολογίστε τα : .

Εστω

$ST=TM=x,IS=y=ML,IA\perp IM,BL\perp IL,OT//IA//MP\Rightarrow \dfrac{y+x}{x}=\dfrac{4}{3} \Leftrightarrow x=3y,\dfrac{ST}{IS}=\dfrac{MO}{AM} SM//OT,OT\perp ST\Rightarrow SM\perp ST, b)$

$\hat{ISA}=\hat{MBA}=45^{0},\hat{IAS}=45^{0},IA=y,AIM,32=y^{2}+49y^{2}\Leftrightarrow y=\dfrac{4}{5}, MS=6y=\dfrac{24}{5},ST=3y=\dfrac{12}{5},PM=5=MN$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 28, 2022 10:05 am**

Ακόμα μία ... Με Π.Θ. στο OMP

είναι

. Έστω

η τομή της προέκτασης της

με τον κύκλο.
Είναι άρα

διάμετρος και εύκολα $\triangle STO = \triangle DPO$ , οπότε SPDT

παραλληλόγραμμο και $ST \perp SM$ . Είναι τότε

$\displaystyle{ \begin{aligned} & PB \cdot PA = PD \cdot PM \rightarrow PD = ST = {7 \over 5} \cr & SM^2 = SD^2 - (PM+PD)^2 = {24 \over 5} \cr \end{aligned} }$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 28, 2022 10:12 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 26, 2022 1:39 pm
Λογικές τιμές.png $\bigstar$ Στο ημικύκλιο του σχήματος , το σημείο είναι το μέσο του τόξου . Η κάθετη της στο

τέμνει το τόξο στο σημείο . α) Δείξτε ότι : $TS \perp SM$ ... β) Υπολογίστε τα : .

Για να υπάρχει, το κάνω με Αναλυτική Γεωμετρία αφού είναι τυφλοσούρτης που δεν απαιτεί καθόλου σκέψη. Γενικότερα, έστω η ακτίνα του ημικυκλίου είναι

και ότι

. Τότε με αρχή των αξόνων το

είναι $M(0,\, R),\, P(a,\,0),\, T(-a,\,0)$ . Άρα η κλίση της

είναι $-\dfrac {R}{a}$ και η εξίσωση της κάθετής της

είναι $y= \dfrac {a}{R}x +R$ .

H τομή αυτής με τον κύκλο x^2+y^2=R^2

δίνεται από την λύση του συστήματος των δύο, που οδηγεί στην $x^2+\left ( \dfrac {a}{R}x +R \right ) ^2= R^2$ . Θα βρούμε $x= -\dfrac {2aR^2}{R^2+a^2}$ και άρα το

είναι το

$S \left ( -\dfrac {2aR^2}{R^2+a^2},\, \dfrac {R(R^2-a^2)}{R^2+a^2}\right )$ .

Άρα η κλίση της

είναι $\dfrac { \dfrac {R(R^2-a^2)}{R^2+a^2}-0 }{ -\dfrac {2aR^2}{R^2+a^2}+a} = -\dfrac {R}{a}$ , δηλαδή όσο της

.

Το δεύτερο μέρος της άσκησης όπου ζητούνται διάφορα μήκη είναι ακόμα πιο απλό αφού ξέρουμε τις συντεταγμένες των άκρων τους.

mathematica.gr

Λογικές τιμές

Λογικές τιμές

Re: Λογικές τιμές

Re: Λογικές τιμές

Re: Λογικές τιμές

Re: Λογικές τιμές

Re: Λογικές τιμές

Re: Λογικές τιμές

Re: Λογικές τιμές