Εύρεση γωνίας

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα. Ας είναι το παρόν θέμα συμβολικό..δωράκι στον αγαπητό Μιχάλη Τσουρακάκη
μαζί με τις ευχαριστίες για τις υπέροχες Γεωμετρικές λύσεις που μας προσφέρει διαρκώς!

: 12-2 Δωράκι στον Μ. Τσουρακάκη.png (110.44 KiB) Προβλήθηκε 758 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει

και $\widehat{A}=84^o$ . Αν το $P \in BC$ ώστε $\dfrac{BP}{PC}=\Phi ^{2}$ , όπου $\Phi$ ο χρυσός αριθμός

και το $I\in AP$ ώστε $\widehat{ABI}=\widehat{PAC}$ τότε: Να υπολογιστεί η $\widehat{PIC}$

Δεκτές, βεβαίως, οι απαντήσεις από όλους. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 12, 2022 10:55 am
Καλημέρα. Ας είναι το παρόν θέμα συμβολικό..δωράκι στον αγαπητό Μιχάλη Τσουρακάκη
μαζί με τις ευχαριστίες για τις υπέροχες Γεωμετρικές λύσεις που μας προσφέρει διαρκώς!

12-2 Δωράκι στον Μ. Τσουρακάκη.png

Το τρίγωνο έχει και $\widehat{A}=84^o$ . Αν το $P \in BC$ ώστε $\dfrac{BP}{PC}=\Phi ^{2}$ , όπου $\Phi$ ο χρυσός αριθμός

και το $I\in AP$ ώστε $\widehat{ABI}=\widehat{PAC}$ τότε: Να υπολογιστεί η $\widehat{PIC}$

Δεκτές, βεβαίως, οι απαντήσεις από όλους. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Αγαπητέ Γιώργο Καλημέρα
Τώρα είδα την ανάρτησή σου και σ ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια
Θα προσπαθήσω για γεωμετρική λύση όταν οι υποχρεώσεις το επιτρέψουν!

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 12, 2022 10:55 am
Καλημέρα. Ας είναι το παρόν θέμα συμβολικό..δωράκι στον αγαπητό Μιχάλη Τσουρακάκη
μαζί με τις ευχαριστίες για τις υπέροχες Γεωμετρικές λύσεις που μας προσφέρει διαρκώς!

12-2 Δωράκι στον Μ. Τσουρακάκη.png

Το τρίγωνο έχει και $\widehat{A}=84^o$ . Αν το $P \in BC$ ώστε $\dfrac{BP}{PC}=\Phi ^{2}$ , όπου $\Phi$ ο χρυσός αριθμός

και το $I\in AP$ ώστε $\widehat{ABI}=\widehat{PAC}$ τότε: Να υπολογιστεί η $\widehat{PIC}$

Δεκτές, βεβαίως, οι απαντήσεις από όλους. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Είναι $\angle BIP= \angle A- \theta + \theta =84^0$

Θεωρούμε τον κύκλο (A,B,C)

που η

τέμνει στο

και προφανώς $\angle IBQ=48^0= \angle IQB= \angle CQA$ άρα BI=IQ

Κατασκευάζουμε τη γωνία BIL=54^0

οπότε $\angle LIP=30^0$ και με $LK//QI\Rightarrow \angle ILK=30^0$ και BK=KL

Στο τρίγωνο KIL

έχουμε

$\dfrac{KI}{sin30^0}= \dfrac{KL}{sin54^0} \Rightarrow KI= \dfrac{KL}{2sin54^0} = \dfrac{KL}{2cos36^0} = \dfrac{KL}{ \Phi } \Rightarrow \dfrac{KL}{KI}= \Phi \Rightarrow \dfrac{BK}{KI}= \dfrac{BN}{NP} =\Phi$

Αλλά $\dfrac{BP}{PC}= \Phi ^2 \Rightarrow \dfrac{BN+NP}{PC}= \Phi ^2 \Rightarrow \dfrac{ (\Phi+1)NP }{PC}= \Phi ^2 \Rightarrow NP=PC$ άρα και LS=SC

Έτσι ,στο τρίγωνο LQC

η διχοτόμος είναι και διάμεσος,άρα μεσοκάθετος της

Επομένως $\angle PIC=x=30^0$

: Εύρεση γωνίας.png (57.99 KiB) Προβλήθηκε 668 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλημέρα. Ευχαριστώ θερμά τον Μιχάλη για τη λύση με την θαυμάσια συμπλήρωση σχήματος!
Μια ακόμη προσέγιση , με χρήση του σχήματος:

: 26-2 Εύρεση γωνίας.png (128.67 KiB) Προβλήθηκε 587 φορές

Παίρνουμε

ώστε τα τρίγωνα ABE,CIA

να είναι ίσα. Τότε ο λόγος $\dfrac{BP}{PC}=\Phi ^{2}$ μας δίνει τον $\dfrac{(BIA)}{(CIA)}=\Phi ^{2}=\Phi+1$

και έπεται $\dfrac{IE}{AI}=\dfrac{IE}{BE}=\dfrac{\left ( AEI \right )}{\left ( ABE \right )}=\Phi$ .

Φτάνουμε στον λόγο ημιτόνων $\dfrac{sinx}{siny}=\dfrac{IE}{AI}=\Phi =\dfrac{sin54^o}{sin30^o}$ , ενώ $x+y=\widehat{BIP}=\widehat{A}=84^o$ .

Άρα x=54^o

και $\widehat{PIC}=y=30^o$ . Φιλικά, Γιώργος.

Εύρεση γωνίας

Εύρεση γωνίας

Re: Εύρεση γωνίας

Re: Εύρεση γωνίας

Re: Εύρεση γωνίας

Μέλη σε σύνδεση