Τμήμα και χαρά.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 33.png (12.44 KiB) Προβλήθηκε 598 φορές

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το τετράπλευρο ABCD

είναι τετράγωνο, ενώ τα τρίγωνα AED, CFD

ισόπλευρα.
Αν $Q\equiv AE\cap FC$ και $PQ=8\sqrt{3}$ , να βρείτε το μήκος του τμήματος x=DL

.

KARKAR · #2

: χαρά.png (18.28 KiB) Προβλήθηκε 571 φορές

Συνοπτικά : $PQ=\dfrac{1}{2}PC=\dfrac{1}{2}(a-DP)$ .Το EBF

είναι ορθογώνιο

και ισοσκελές , με $EF=a\sqrt2$ . Από νόμο ημιτόνων , βρίσκουμε τα EL , LF

και με νόμο συνημιτόνων ( ή Stewart) , το x= BL

. Δηλαδή : $x=2\sqrt3PQ=48$ .

Φάνη η ηλικία σου είναι ;

Φανης Θεοφανιδης · #3

Καλά θα ήταν Θανάση.

#4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 28, 2022 9:17 pm
33.png

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το τετράπλευρο είναι τετράγωνο, ενώ τα τρίγωνα ισόπλευρα.
Αν $Q\equiv AE\cap FC$ και $PQ=8\sqrt{3}$ , να βρείτε το μήκος του τμήματος .

Αν

είναι η πλευρά του τετραγώνου, τότε $\displaystyle BP = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow PC = \frac{{a\left( {3 - \sqrt 3 } \right)}}{3} = 16\sqrt 3 \Leftrightarrow$ $\boxed{a = 24\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}$ (1)

: Τμήμα και χαρά.png (19.97 KiB) Προβλήθηκε 538 φορές

Έστω

η προβολή του

στην

Τότε $HL=x-\dfrac{a}{2}.$ Εύκολα διαπιστώνω (με γωνίες) ότι τα B, E, L, F

είναι συνευθειακά κι επειδή BC||HF

θα είναι:

$\displaystyle \frac{{HL}}{{LC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \frac{{HL}}{{HC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 - 3 \Leftrightarrow x - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}\left( {2\sqrt 3 - 3} \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{x=48}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 28, 2022 9:17 pm
33.png

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το τετράπλευρο είναι τετράγωνο, ενώ τα τρίγωνα ισόπλευρα.
Αν $Q\equiv AE\cap FC$ και $PQ=8\sqrt{3}$ , να βρείτε το μήκος του τμήματος .

Εύκολα αποδεικνύεται ότι B,E,F

είναι συνευθειακά

Είναι $\dfrac{CL}{a} =tan15^0=2- \sqrt{3} \Rightarrow CL=a(2- \sqrt{3}) \Rightarrow LD=a( \sqrt{3}-1)$

$QC= QC=PQ \sqrt{3}=24$ και $QF= \dfrac{SF}{2}= \dfrac{a (\sqrt{3}+1) }{2}$

Από $QC=QF-a \Rightarrow a= \dfrac{48}{ \sqrt{3}-1 }$ άρα x=LD=48

: Τμήμα.png (40.85 KiB) Προβλήθηκε 510 φορές

nickchalkida · #6

Με βάση ότι

,

, είναι συνευθειακά, ότι $F\widehat{B}C = 15^o$ και την ομοιότητα $\triangle QPC \sim \triangle BPA$

$\displaystyle{ \begin{aligned} & {8 \sqrt{3} \over 24} = {a - 16 \sqrt{3} \over a} \rightarrow a = {48 \sqrt{3} \over 3 - \sqrt{3}} \cr & \cr & DL = a - CL = a - 2 \cdot KE = a(\sqrt{3} - 1) = 48 \cr \end{aligned} }$

cool geometry · #7

$\angle QPC=60^{0}, \angle QCP=30^{0}, \angle PQC=90^{0}\Rightarrow PC=16\sqrt{3}, QC=24, \angle ACP=45^{0}, \angle APC=120^{0}, \angle PAC=15^{0}\Rightarrow \frac{AP}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{16\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4}}=\frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\Rightarrow AP=48+16\sqrt{3}, AC=(24\sqrt{2}+8\sqrt{6})\sqrt{3}, AB=(24+8\sqrt{3})\sqrt{3}=24+24\sqrt{3}$
άρα $EQ=[(48+16\sqrt{3})-(24+24\sqrt{3})]+8\sqrt{3}=24, QF=24+(24+24\sqrt{3})=24(2+\sqrt{3}), \angle EQF=90^{0}\Rightarrow \tan \angle QFE=2-\sqrt{3}\Rightarrow \angle QFE=15^{0}\Rightarrow \angle DFL=45^{0}, \angle FDL=60^{0}, \angle FLD=75^{0}, FD=24(1+\sqrt{3})\Rightarrow x=48$

Τμήμα και χαρά.

Τμήμα και χαρά.

Re: Τμήμα και χαρά.

Re: Τμήμα και χαρά.

Re: Τμήμα και χαρά.

Re: Τμήμα και χαρά.

Re: Τμήμα και χαρά.

Re: Τμήμα και χαρά.

Μέλη σε σύνδεση