Να βρεθεί το σκιασμένο εμβαδόν

Christos.N · #1

: IMG_20211229_195604.jpg (27.39 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές

#2

Ας είναι $\displaystyle{A}$ η κορυφή της ορθής γωνίας, $\displaystyle{C}$ η κορυφή της γωνίας $\displaystyle{2x}$ και $\displaystyle{B}$ η τρίτη κορυφή του τριγώνου.

Είναι

$\displaystyle{\tan x=\frac{s-a}{c}}$ και $\displaystyle{\tan 2x=\frac{c}{b},}$

οπότε από την ταυτότητα $\displaystyle{\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan ^2 x}}$ λαμβάνουμε

$\displaystyle{\frac{c}{b}=\frac{2\frac{s-a}{c}}{1-\frac{(s-a)^2}{c^2}}}$

η οποία μετά τις πράξεις και τη χρήση της $\displaystyle{a^2=b^2+c^2}$ ανάγεται στην $\displaystyle{a(3b+c)=3b^2-c^2+3bc.}$

Αυτή με ύψωση στο τετράγωνο και χρήση της $\displaystyle{a^2=b^2+c^2}$ ανάγεται στην $\displaystyle{(3b-4c)(4b+3c)=0,}$ οπότε $\displaystyle{c=\frac{3b}{4}.}$

Πάλι από την $\displaystyle{a^2=b^2+c^2}$ βρίσκουμε $\displaystyle{a=\frac{5b}{4}.}$

Επομένως είναι

$\displaystyle{(ABC)=\frac{3b^2}{8}}$ και $\displaystyle{s=\frac{3b}{2}.}$

Τότε

$\displaystyle{\frac{(ABC)}{r}=\frac{b}{4}}$ , άρα $\displaystyle{b=8.}$

Τότε είναι $\displaystyle{(ABC)=24}$ και επομένως $\displaystyle{Blue Area =24-4\pi .}$

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλό Βράδυ σε όλους! Με τη βοήθεια του σχήματος

: 29-12 Σκιασμένο εμβαδόν.png (126.5 KiB) Προβλήθηκε 511 φορές

Τα ορθ. τρίγωνα ACE,BIE

είναι ίσα οπότε BE=AC=b

κι' ακόμη

.

Με το Π.Θ. $\left ( 2b-2 \right )^{2}=\left ( b+2 \right )^{2}+b^{2}$ που μας δίνει AC=b=6

, άρα

. Τότε $(BAC)=\dfrac{6\cdot 8}{2}=24$

συνεπώς το ζητούμενο εμβαδόν είναι $24-4\pi$ . Φιλικά, Γιώργος.

Φανης Θεοφανιδης · #4

: 8.png (15.41 KiB) Προβλήθηκε 506 φορές

Φέρνω τα κόκκινα τμήματα.
Από το τετράγωνο AFOD

έπεται ότι AF= AD=2

.
Έστω

.
Οπότε και CF=m

.
Από την προφανή ισότητα των τριγώνων BAF, OFC

έχω ότι $BA=m\Rightarrow BD=m-2\Rightarrow BE=m-2$ .
Το Π.Θ. στο τρίγωνο ABC

μου δίνει

.
Από εκεί και πέρα όλα εύκολα για να πάρω το ζητούμενο 24-4p

.

Φανης Θεοφανιδης · #5

Τώρα είδα την λύση του Γιώργου.
Την αφήνω γιατί έχω πιο όμορφο σχήμα.

Γιώργος Μήτσιος · #6

Θα συμφωνήσω (θέλοντας και μη) μαζί σου Φάνη!

Μπορεί το δικό μου να έχει κάπως λιγότερες γραμμές και σύμβολα..τα δικά σου όμως είναι καλλιγραφικά , και επιπλέον

έχουν ( ατυχώς για μερικούς από μας ..και φέτος) το χρώμα του πρωταθλητή...

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

Christos.N έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 29, 2021 8:15 pm
IMG_20211229_195604.jpg

Με

συμμετρικό του

ως προς

είναι

$EB^2=BD^2=c^2+4=4(2+b) \Rightarrow c^2=4+4b \Rightarrow a^2=(b+2)^2 \Rightarrow a=b+2$

Επιπλέον, $\tau -a=2 \Rightarrow b+c=a+4$ , άρα c=6,b=8

και

Tο ζητούμενο εμβαδόν είναι λοιπόν $24-4\pi$

: Εμβαδόν.png (24.06 KiB) Προβλήθηκε 478 φορές

STOPJOHN · #8

Christos.N έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 29, 2021 8:15 pm
IMG_20211229_195604.jpg

Kαλημέρα ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ

Θα υπολογίσουμε την παράσταση $(ABC)-4\pi=\dfrac{1}{2}b.c-4\pi ,$

Aπό την ισότητα των τριγώνων $LIC,ABD,a+2=2c,a^{2}=b^{2}+c^{2}\Rightarrow 3c^{2}-8c+4-b^{2}=0,(1), (ABC)=\tau .\varrho \Rightarrow bc-6c-2b=-4,(2),x=\dfrac{b-2}{b-6}, (1),(2)\Rightarrow 1+3x^{2}-4x=\dfrac{(3x-1)^{2}}{(x-1)^{2}}\Leftrightarrow x=3,x=\dfrac{1}{3}$

Η δευτερη ρίζα απορρίπτεται. Για $x=3,b=8,c=6,(ABC)-4\pi =24-4\pi$

Να βρεθεί το σκιασμένο εμβαδόν

Να βρεθεί το σκιασμένο εμβαδόν

Re: Να βρεθεί το σκιασμένο εμβαδόν

Re: Να βρεθεί το σκιασμένο εμβαδόν

Re: Να βρεθεί το σκιασμένο εμβαδόν

Re: Να βρεθεί το σκιασμένο εμβαδόν

Re: Να βρεθεί το σκιασμένο εμβαδόν

Re: Να βρεθεί το σκιασμένο εμβαδόν

Re: Να βρεθεί το σκιασμένο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση