Διαφορά και λόγος εμβαδών

#1

: Διαφορά και λόγος εμβαδών.png (13.96 KiB) Προβλήθηκε 539 φορές

Με διάμετρο την πλευρά BC=a

τετραγώνου ABCD

γράφω ημικύκλιο εκτός του τετραγώνου και θεωρώ σημείο του

ώστε

$E\widehat CB=30^\circ.$ Αν η

τέμνει την

στο

να υπολογίσετε την διαφορά (BDF)-(CEF)

και το λόγο $\dfrac{(BDF)}{(CEF}.$

KARKAR · #2

: bisb talepory.png (20.48 KiB) Προβλήθηκε 508 φορές

Με χρήση του λήμματος , βρίσκουμε : $BF=\dfrac{4+12\sqrt{3}}{13}a , FC=\dfrac{48-12\sqrt{3}}{13}a$ .

Με γνωστά τα ύψη και τις βάσεις των τριγώνων , βρίσκουμε : (DFB)-(EFC)=2a^2

,

π.χ. για 4a=4

βρίσκουμε

Επίσης : $\dfrac{(DFB)}{(EFC)}=\dfrac{4(3+\sqrt{3})}{9}$ , τι το ήθελες αυτό βρε Γιώργο

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 18, 2021 1:12 pm
Διαφορά και λόγος εμβαδών.png
Με διάμετρο την πλευρά τετραγώνου γράφω ημικύκλιο εκτός του τετραγώνου και θεωρώ σημείο του ώστε

$E\widehat CB=30^\circ.$ Αν η τέμνει την στο να υπολογίσετε την διαφορά και το λόγο $\dfrac{(BDF)}{(CEF}.$

Για το α διαφορετικά .
.

: Διαφορά και λόγος_Bisbikis_a.png (19.4 KiB) Προβλήθηκε 473 φορές

.
$X - Y = \left( {X + T} \right) - \left( {Y + T} \right) = \left( {BED} \right) - \left( {BEC} \right)$ . Έτσι από τους γνωστούς τύπους έχω :

$X - Y = \dfrac{1}{2}BD \cdot BE\sin 105^\circ - \dfrac{1}{2}CE \cdot BE = \dfrac{1}{2}BE\left( {BD\cos 15^\circ - CE} \right)$ .

Αλλά $BE = \dfrac{a}{2}\,\,,\,\,BD = a\sqrt 2 \,,\,\,\cos 15^\circ = \dfrac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{4}$ και $CE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$ , οπότε : $\boxed{X - Y = \dfrac{{{a^2}}}{8}}$ .

β)
Ας είναι

η τομή της

με την

,

η τομή της

με την

και

η τομή των $BE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CT$ .

Θέτω $BZ = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZT = m$ είναι: $\boxed{x = \frac{a}{{\sqrt 3 }}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\dfrac{m}{a} = \dfrac{{EZ}}{{EC}} = \dfrac{{B{Z^2}}}{{B{C^2}}} = \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \boxed{m = \dfrac{a}{3}}$
.

: Διαφορά και λόγος_Bisbikis_b1.png (18.69 KiB) Προβλήθηκε 463 φορές

.
Από Θ. Μενελάου στο $\vartriangle CZT$ με διατέμνουσα , $\overline {BEH}$ έχω : $\dfrac{{TH}}{{HC}} = \dfrac{{3 + \sqrt 3 }}{9}\,\,\left( 1 \right)$ .

Από Θ. $Van\,Aubel$ στο $\vartriangle CBT$ θα προκύψει : $\dfrac{{TE}}{{EF}} = \dfrac{{3 + 4\sqrt 3 }}{9} \Leftrightarrow \boxed{\dfrac{{TF}}{{EF}} = \dfrac{{4\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}}{9}}$

Ο πιο πάνω λόγος είναι αυτός που θέλω γιατί από το τραπέζιο DBTC

έχω : $X = \left( {FTC} \right)$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 18, 2021 7:25 pm

Επίσης : $\dfrac{(DFB)}{(EFC)}=\dfrac{4(3+\sqrt{3})}{9}$ , τι το ήθελες αυτό βρε Γιώργο

Για να σιγουρευτώ ότι θα υπάρξει κάποια δυσκολία

. Το πρώτο ερώτημα μόνο του βγαίνει πολύ απλά

(βλέπε τη λύση του Νίκου) ή και (BDF)-(CEF)=(DCB)-(DCE).

cool geometry · #5

στο $\bigtriangleup BEC$ είναι $CE=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ , άρα:
στο $\bigtriangleup DCE$ είναι $DC=a, CE=\frac{a\sqrt{3}}{2}, \angle DCE=120^{0}\Rightarrow DE^{2}=a^{2}+\frac{3}{4}a^{2}-2\cdot a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot (-\frac{1}{2})=\frac{7+2\sqrt{3}}{4}a^{2}\Rightarrow \frac{\frac{7+2\sqrt{3}}{4}a^{2}}{\frac{3}{4}}=\frac{a^{2}}{cos^{2}\angle DEC}\Rightarrow cos^{2}\angle DEC=\frac{3(7-2\sqrt{3})}{37}$ , μετά προκύπτουν όλα εύκολα με πράξεις που βαριέμαι να γράψω...

Διαφορά και λόγος εμβαδών

Διαφορά και λόγος εμβαδών

Re: Διαφορά και λόγος εμβαδών

Re: Διαφορά και λόγος εμβαδών

Re: Διαφορά και λόγος εμβαδών

Re: Διαφορά και λόγος εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση