Μπουάτ διαγώνιος

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13170
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μπουάτ διαγώνιος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Δεκ 07, 2021 7:45 pm

Μπουάτ  διαγώνιος.png
Μπουάτ διαγώνιος.png (7.36 KiB) Προβλήθηκε 302 φορές
\bigstar Υπολογίστε το μήκος της διαγωνίου BD του τετραπλεύρου ABCD του σχήματος , αν :

α) Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο .... β) Το μήκος (BD) είναι ακέραιο.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11194
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μπουάτ διαγώνιος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 09, 2021 12:58 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Δεκ 07, 2021 7:45 pm
Μπουάτ διαγώνιος.png\bigstar Υπολογίστε το μήκος της διαγωνίου BD του τετραπλεύρου ABCD του σχήματος , αν :

α) Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο .... β) Το μήκος (BD) είναι ακέραιο.
Μπουάτ διαγώνιος.png
Μπουάτ διαγώνιος.png (9.13 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές
α) Από τα δύο θεωρήματα Πτολεμαίου έχω:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
BD \cdot AC = 11 \cdot 7 + 4 \cdot 2 \Leftrightarrow BD \cdot AC = 85\\ 
\\ 
\dfrac{{BD}}{{AC}} = \dfrac{{2 \cdot 11 + 4 \cdot 7}}{{11 \cdot 4 + 2 \cdot 7}} \Leftrightarrow \dfrac{{BD}}{{AC}} = \dfrac{{25}}{{29}} 
\end{array} \right. \Rightarrow B{D^2} = \frac{{25 \cdot 85}}{{29}} \Leftrightarrow \boxed{BD = 5\sqrt {\frac{{85}}{{29}}} }

β) Από τριγωνική ανισότητα \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
7 < BD < 15\\ 
\\ 
5 < BD < 9 
\end{array} \right. κι επειδή έχει μήκος ακέραιο θα είναι \boxed{BD=8}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13170
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μπουάτ διαγώνιος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Δεκ 09, 2021 1:49 pm

Που να βρεθούν ( και μάλιστα σε μια μέρα ! ) μαθητές να ασχοληθούν με γεωμετρικά προβλήματα .

Ευτυχώς που υπάρχουν μαθηματικοί που δεν αφήνουν τίποτα αναπάντητο . Γιώργο να' σαι καλά !

Πάντως το πρώτο ερώτημα λύνεται και με την εν χρήσει σχολική ύλη , ενώ η λύση του δεύτερου

μπορεί να γίνει "έτι κομψοτέρα" :lol:


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4357
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Μπουάτ διαγώνιος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Δεκ 09, 2021 3:16 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 09, 2021 1:49 pm
Που να βρεθούν ( και μάλιστα σε μια μέρα ! ) μαθητές να ασχοληθούν με γεωμετρικά προβλήματα .

Ευτυχώς που υπάρχουν μαθηματικοί που δεν αφήνουν τίποτα αναπάντητο . Γιώργο να' σαι καλά !

Πάντως το πρώτο ερώτημα λύνεται και με την εν χρήσει σχολική ύλη , ενώ η λύση του δεύτερου

μπορεί να γίνει "έτι κομψοτέρα" :lol:
Θανάση
Σίγουρα μιλά για τον νόμο των συνημιτόνων στα τρίγωνα \vartriangle BAD,\vartriangle BCD λυμένο ως προς τα συνημίτονα και προσθέτοντας κατά μέλη έχοντας υπόψη ότι παραπληρωματικές γωνίες (λόγω του εγγράψιμου τετραπλεύρου) έχουν αντίθετα συνημίτονα προκύπτει η εξίσωση ως προς BD
Για το δεύτερο επίσης με τριγωνική ανισότητα (όπως ο Γιώργος) στα τρίγωνα \vartriangle ABD,\vartriangle BCD\Rightarrow \left| AB-AD \right|<BD<BC+CD\Rightarrow 7<BD<9\overset{\left( BD \right)\in Z_{+}^{*}}{\mathop{\Rightarrow }}\,BD=8


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11194
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μπουάτ διαγώνιος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 09, 2021 6:42 pm

Ένα επιπλέον ερώτημα, αν μου επιτρέπει ο Θανάσης.
Γωνία διαγωνίων...png
Γωνία διαγωνίων...png (10.94 KiB) Προβλήθηκε 165 φορές
Αν το ABCD είναι εγγράψιμο, να βρείτε το \sin \theta.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13170
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μπουάτ διαγώνιος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Δεκ 09, 2021 7:23 pm

Μπουάτ  διαγώνιος.png
Μπουάτ διαγώνιος.png (10.94 KiB) Προβλήθηκε 151 φορές
Με τον ίδιο τρόπο , υπολογίζουμε ότι : AC=\sqrt{\dfrac{493}{5}} . Τώρα : \theta=\phi+\zeta , με όλα γνωστά .

Γιώργο , δέξου αντί για τον υπολογισμό του \sin\theta , να δείξουμε ότι : \tan\theta=\dfrac{8}{15} ( πιο εφετζίδικο :lol: )


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11194
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μπουάτ διαγώνιος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 09, 2021 7:29 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Δεκ 09, 2021 7:23 pm
Μπουάτ διαγώνιος.pngΜε τον ίδιο τρόπο , υπολογίζουμε ότι : AC=\sqrt{\dfrac{493}{5}} . Τώρα : \theta=\phi+\zeta , με όλα γνωστά .

Γιώργο , δέξου αντί για τον υπολογισμό του \sin\theta , να δείξουμε ότι : \tan\theta=\dfrac{8}{15} ( πιο εφετζίδικο :lol: )
Είχα κατά νου τον "παράνομο" ( :lol: ) υπολογισμό του εμβαδού με τον τύπο:

\displaystyle (ABCD) = \sqrt {(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)}  = ... = 20= \dfrac {AC\cdot BD}{2}  \sin \theta, κλπ.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11194
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μπουάτ διαγώνιος

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Δεκ 10, 2021 11:19 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Δεκ 07, 2021 7:45 pm
Μπουάτ διαγώνιος.png\bigstar Υπολογίστε το μήκος της διαγωνίου BD του τετραπλεύρου ABCD του σχήματος , αν :

α) Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Νόμιμη και Γεωμετρική, αλλά λίγο επίπονη λύση.

Έστω S η προβολή του C στην BD. Θέτω TC=x, TB=y, οπότε από την ομοιότητα των τριγώνων ATD, BTC προκύπτει ότι TD=2x, TA=2y και από τα όμοια DTC, BTA ότι \boxed{\frac{x}{y}=\frac{7}{11}} (1)
Μπουάτ διαγώνιος.β.png
Μπουάτ διαγώνιος.β.png (13.77 KiB) Προβλήθηκε 103 φορές
Θεώρημα οξείας-αμβλείας(*) διαδοχικά στα τρίγωνα TCB, TCD:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
4 = {x^2} + {y^2} - 2y(TS)\\ 
\\ 
49 = 5{x^2} + 4x(TS) 
\end{array} \right. απ' όπου με απαλοιφή του TS καταλήγω στην εξίσωση

\displaystyle 49y + 8x = 2{x^3} + 5{x^2}y + 2x{y^2}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} x = \frac{7}{5}\sqrt {\frac{{85}}{{29}}} και \displaystyle y = \frac{{11}}{5}\sqrt {\frac{{85}}{{29}}}

Τώρα, εύκολα \displaystyle BD = 2x + y = 5\sqrt {\frac{{85}}{{29}}} και \displaystyle AC = x + 2y = \frac{{29}}{5}\sqrt {\frac{{85}}{{29}}}

(*) Κατέφυγα σε αυτά τα θεωρήματα για να μην λέτε ότι χρησιμοποιώ τον "παράνομο" \displaystyle {\rm{Stewart}} :lol:


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 13170
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μπουάτ διαγώνιος

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Δεκ 10, 2021 7:29 pm

Με δεδομένο ότι : (ABCD)=20 - που μπορεί να βρεθεί και με σχολική ύλη - και χρησιμοποιώντας το γνωστό λήμμα

( Άσκηση 7 , σελίδα 77 του σχολικού - εύκολο να το θυμάται κανείς :P ) , που χρησιμοποιεί και ο Γιώργος , βρίσκουμε ότι :

\sin\theta= \dfrac{8}{17} . Αλλά από την πυθαγόρεια τριάδα  ( 8 , 15 , 17 ) , προκύπτει : \tan\theta=\dfrac{8}{15} ( καλό εεε ! )


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8382
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μπουάτ διαγώνιος

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Δεκ 10, 2021 7:37 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Δεκ 10, 2021 7:29 pm
Με δεδομένο ότι : (ABCD)=20 - που μπορεί να βρεθεί και με σχολική ύλη - και χρησιμοποιώντας το γνωστό λήμμα

( Άσκηση 7 , σελίδα 77 του σχολικού - εύκολο να το θυμάται κανείς :P ) , που χρησιμοποιεί και ο Γιώργος , βρίσκουμε ότι :

\sin\theta= \dfrac{8}{17} . Αλλά από την πυθαγόρεια τριάδα  ( 8 , 15 , 17 ) , προκύπτει : \tan\theta=\dfrac{8}{15} ( καλό εεε ! )
Ναι καλό !


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 2 επισκέπτες