mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 07, 2021 7:45 pm**

: Μπουάτ διαγώνιος.png (7.36 KiB) Προβλήθηκε 744 φορές

$\bigstar$ Υπολογίστε το μήκος της διαγωνίου

του τετραπλεύρου ABCD

του σχήματος , αν :

α) Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο .... β) Το μήκος (BD)

είναι ακέραιο.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 09, 2021 12:58 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 07, 2021 7:45 pm
Μπουάτ διαγώνιος.png $\bigstar$ Υπολογίστε το μήκος της διαγωνίου του τετραπλεύρου του σχήματος , αν :

α) Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο .... β) Το μήκος είναι ακέραιο.

: Μπουάτ διαγώνιος.png (9.13 KiB) Προβλήθηκε 668 φορές

α) Από τα δύο θεωρήματα Πτολεμαίου έχω:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} BD \cdot AC = 11 \cdot 7 + 4 \cdot 2 \Leftrightarrow BD \cdot AC = 85\\ \\ \dfrac{{BD}}{{AC}} = \dfrac{{2 \cdot 11 + 4 \cdot 7}}{{11 \cdot 4 + 2 \cdot 7}} \Leftrightarrow \dfrac{{BD}}{{AC}} = \dfrac{{25}}{{29}} \end{array} \right. \Rightarrow B{D^2} = \frac{{25 \cdot 85}}{{29}} \Leftrightarrow$ $\boxed{BD = 5\sqrt {\frac{{85}}{{29}}} }$

β) Από τριγωνική ανισότητα $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 7 < BD < 15\\ \\ 5 < BD < 9 \end{array} \right.$ κι επειδή έχει μήκος ακέραιο θα είναι $\boxed{BD=8}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 09, 2021 1:49 pm**

Που να βρεθούν ( και μάλιστα σε μια μέρα ! ) μαθητές να ασχοληθούν με γεωμετρικά προβλήματα .

Ευτυχώς που υπάρχουν μαθηματικοί που δεν αφήνουν τίποτα αναπάντητο . Γιώργο να' σαι καλά !

Πάντως το πρώτο ερώτημα λύνεται και με την εν χρήσει σχολική ύλη , ενώ η λύση του δεύτερου

μπορεί να γίνει "έτι κομψοτέρα"

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 09, 2021 3:16 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 09, 2021 1:49 pm
Που να βρεθούν ( και μάλιστα σε μια μέρα ! ) μαθητές να ασχοληθούν με γεωμετρικά προβλήματα .

Ευτυχώς που υπάρχουν μαθηματικοί που δεν αφήνουν τίποτα αναπάντητο . Γιώργο να' σαι καλά !

Πάντως το πρώτο ερώτημα λύνεται και με την εν χρήσει σχολική ύλη , ενώ η λύση του δεύτερου

μπορεί να γίνει "έτι κομψοτέρα"

Θανάση
Σίγουρα μιλά για τον νόμο των συνημιτόνων στα τρίγωνα $\vartriangle BAD,\vartriangle BCD$ λυμένο ως προς τα συνημίτονα και προσθέτοντας κατά μέλη έχοντας υπόψη ότι παραπληρωματικές γωνίες (λόγω του εγγράψιμου τετραπλεύρου) έχουν αντίθετα συνημίτονα προκύπτει η εξίσωση ως προς

Για το δεύτερο επίσης με τριγωνική ανισότητα (όπως ο Γιώργος) στα τρίγωνα $\vartriangle ABD,\vartriangle BCD\Rightarrow \left| AB-AD \right|<BD<BC+CD\Rightarrow 7<BD<9\overset{\left( BD \right)\in Z_{+}^{*}}{\mathop{\Rightarrow }}\,BD=8$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 09, 2021 6:42 pm**

Ένα επιπλέον ερώτημα, αν μου επιτρέπει ο Θανάσης.

: Γωνία διαγωνίων...png (10.94 KiB) Προβλήθηκε 607 φορές

Αν το

είναι εγγράψιμο, να βρείτε το $\sin \theta.$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 09, 2021 7:23 pm**

: Μπουάτ διαγώνιος.png (10.94 KiB) Προβλήθηκε 593 φορές

Με τον ίδιο τρόπο , υπολογίζουμε ότι : $AC=\sqrt{\dfrac{493}{5}}$ . Τώρα : $\theta=\phi+\zeta$ , με όλα γνωστά .

Γιώργο , δέξου αντί για τον υπολογισμό του $\sin\theta$ , να δείξουμε ότι : $\tan\theta=\dfrac{8}{15}$ ( πιο εφετζίδικο

)

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 09, 2021 7:29 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 09, 2021 7:23 pm
Μπουάτ διαγώνιος.pngΜε τον ίδιο τρόπο , υπολογίζουμε ότι : $AC=\sqrt{\dfrac{493}{5}}$ . Τώρα : $\theta=\phi+\zeta$ , με όλα γνωστά .

Γιώργο , δέξου αντί για τον υπολογισμό του $\sin\theta$ , να δείξουμε ότι : $\tan\theta=\dfrac{8}{15}$ ( πιο εφετζίδικο )

Είχα κατά νου τον "παράνομο" (

) υπολογισμό του εμβαδού με τον τύπο:

$\displaystyle (ABCD) = \sqrt {(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)} = ... = 20= \dfrac {AC\cdot BD}{2} \sin \theta,$ κλπ.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Δεκ 10, 2021 11:19 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 07, 2021 7:45 pm
Μπουάτ διαγώνιος.png $\bigstar$ Υπολογίστε το μήκος της διαγωνίου του τετραπλεύρου του σχήματος , αν :

α) Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.

Νόμιμη και Γεωμετρική, αλλά λίγο επίπονη λύση.

Έστω

η προβολή του

στην

Θέτω

οπότε από την ομοιότητα των τριγώνων ATD, BTC

προκύπτει ότι TD=2x, TA=2y

και από τα όμοια DTC, BTA

ότι $\boxed{\frac{x}{y}=\frac{7}{11}}$ (1)

: Μπουάτ διαγώνιος.β.png (13.77 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές

Θεώρημα οξείας-αμβλείας(*) διαδοχικά στα τρίγωνα TCB, TCD:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 4 = {x^2} + {y^2} - 2y(TS)\\ \\ 49 = 5{x^2} + 4x(TS) \end{array} \right.$ απ' όπου με απαλοιφή του

καταλήγω στην εξίσωση

$\displaystyle 49y + 8x = 2{x^3} + 5{x^2}y + 2x{y^2}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} x = \frac{7}{5}\sqrt {\frac{{85}}{{29}}}$ και $\displaystyle y = \frac{{11}}{5}\sqrt {\frac{{85}}{{29}}}$

Τώρα, εύκολα $\displaystyle BD = 2x + y = 5\sqrt {\frac{{85}}{{29}}}$ και $\displaystyle AC = x + 2y = \frac{{29}}{5}\sqrt {\frac{{85}}{{29}}}$

(*) Κατέφυγα σε αυτά τα θεωρήματα για να μην λέτε ότι χρησιμοποιώ τον "παράνομο" $\displaystyle {\rm{Stewart}}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Δεκ 10, 2021 7:29 pm**

Με δεδομένο ότι : (ABCD)=20

- που μπορεί να βρεθεί και με σχολική ύλη - και χρησιμοποιώντας το γνωστό λήμμα

( Άσκηση

, σελίδα

του σχολικού - εύκολο να το θυμάται κανείς

) , που χρησιμοποιεί και ο Γιώργος , βρίσκουμε ότι :

$\sin\theta= \dfrac{8}{17}$ . Αλλά από την πυθαγόρεια τριάδα ( 8 , 15 , 17 )

, προκύπτει : $\tan\theta=\dfrac{8}{15}$ ( καλό εεε ! )

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Δεκ 10, 2021 7:37 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 10, 2021 7:29 pm
Με δεδομένο ότι : - που μπορεί να βρεθεί και με σχολική ύλη - και χρησιμοποιώντας το γνωστό λήμμα

( Άσκηση , σελίδα του σχολικού - εύκολο να το θυμάται κανείς ) , που χρησιμοποιεί και ο Γιώργος , βρίσκουμε ότι :

$\sin\theta= \dfrac{8}{17}$ . Αλλά από την πυθαγόρεια τριάδα , προκύπτει : $\tan\theta=\dfrac{8}{15}$ ( καλό εεε ! )

Ναι καλό !

mathematica.gr

Μπουάτ διαγώνιος

Μπουάτ διαγώνιος

Re: Μπουάτ διαγώνιος

Re: Μπουάτ διαγώνιος

Re: Μπουάτ διαγώνιος

Re: Μπουάτ διαγώνιος

Re: Μπουάτ διαγώνιος

Re: Μπουάτ διαγώνιος

Re: Μπουάτ διαγώνιος

Re: Μπουάτ διαγώνιος

Re: Μπουάτ διαγώνιος