Παραλληλία από μεσοκάθετες
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Παραλληλία από μεσοκάθετες
Έστω σημεία των πλευρών αντίστοιχα τριγώνου ώστε: . Αν είναι τα σημεία τομής των μεσοκαθέτων των με τα τόξα του περίκυκλου του τριγώνου που δεν περιέχουν τα αντίστοιχα, να δείξετε ότι
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1172
- Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
- Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
Re: Παραλληλία από μεσοκάθετες
Αν είναι τα μέσα των αντίστοιχα, τότε και όμοια . Επομένως , οπότε αν είναι το σημείο τομής των δύο μεσοκαθέτων, το περίκεντρο ισαπέχει από αυτές, οπότε ανήκει στην διχοτόμο της γωνίας τους. Επομένως το τρίγωνο είναι ισοσκελές με πλευρές κάθετες προς εκείνες του επίσης ισοσκελούς , οπότε έχουν παράλληλες τις διχοτόμους τους , άρα και οι βάσεις τους είναι παράλληλες, δηλαδή .
- Συνημμένα
-
- ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑ.png (24.79 KiB) Προβλήθηκε 1077 φορές
τελευταία επεξεργασία από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ σε Παρ Απρ 01, 2022 1:18 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Παραλληλία από μεσοκάθετες
Μπορείτε να απολαύσετε αυτή τη λύση. Πρόκειται για λύση ποίημα!!!!. Αντρέα σε ευχαριστώ θερμάAΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: ↑Τετ Δεκ 08, 2021 11:42 pmΑν είναι τα μέσα των αντίστοιχα, τότε και όμοια . Επομένως NT=MS, οπότε αν είναι το σημείο τομής των δύο μεσοκαθέτων, το περίκεντρο ισαπέχει από αυτές, οπότε ανήκει στην διχοτόμο της γωνίας τους. Επομένως το τρίγωνο είναι ισοσκελές με πλευρές κάθετες προς εκείνες του επίσης ισοσκελούς , οπότε έχουν παράλληλες τις διχοτόμους τους , άρα και οι βάσεις τους είναι παράλληλες, δηλαδή .
Έχω μια διαφορετική λύση όχι τόσο κοψμή και κάποια στιγμή θα την αναρτήσω
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1172
- Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
- Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
Re: Παραλληλία από μεσοκάθετες
Στάθη μου, σε ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια που με τιμούν, αλλά επίσης σε ευχαριστώ για ακόμη ένα όμορφο πρόβλημα που μας παρέθεσες. Η αλήθεια είναι ότι χάθηκα τον τελευταίο καιρό από εδώ αλλά δεν έπαψα να σας παρακολουθώ και να σας αναζητώ. Ελπίζω να είστε όλοι καλά και σύντομα να τα ξαναπούμε και από κοντά.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Παραλληλία από μεσοκάθετες
Ας δούμε και μια άλλη άποψη , όχι βέβαια τόσο «μεστή» όπως του Αντρέα.ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Σάβ Δεκ 04, 2021 6:15 pmΠαραλληλία από μεσοκάθετες.png
Έστω σημεία των πλευρών αντίστοιχα τριγώνου ώστε: . Αν είναι τα σημεία τομής των μεσοκαθέτων των με τα τόξα του περίκυκλου του τριγώνου που δεν περιέχουν τα αντίστοιχα, να δείξετε ότι
Αν είναι τα σημεία τομής των με τον περίκυκλο του τριγώνου , με τότε από τα ισοσκελή τρίγωνα (εξαιτίας των μεσοκαθέτων) προκύπτει ότι και τα τρίγωνα είναι ισοσκελή και με προκύπτει ότι είναι σημεία κύκλου με κέντρο . Έχουμε:
και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Παραλληλία από μεσοκάθετες
Ας δούμε μία άλλη προσέγγιση που προέκυψε από την ανάγνωση της όμορφης απόδειξης του Ανδρέα πιο πάνω.ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Σάβ Δεκ 04, 2021 6:15 pmΈστω σημεία των πλευρών αντίστοιχα τριγώνου ώστε: . Αν είναι τα σημεία τομής των μεσοκαθέτων των με τα τόξα του περίκυκλου του τριγώνου που δεν περιέχουν τα αντίστοιχα, να δείξετε ότι
Έστω , τα μέσα των πλευρών αντιστοίχως και , τα μέσα των τμημάτων , αντιστοίχως.
Έστω τα σημεία και και ας είναι η διχοτόμος της γωνίας , όπου είναι αντιστοίχως, ο περίκυκλος και το περίκεντρο του δοσμένου τριγώνου .
Το τρίγωνο , όπου , είναι ορθογώνιο λόγω
και άρα έχουμε
Από και Ισχύει και ομοίως έχουμε
Από λόγω .
Οι ευθείες τώρα, ως παράλληλες προς τις ακτίνες αντιστοίχως, αποκόπτουν από τον κύκλο ίσα τόξα λόγω της
και άρα έχουμε
Από και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Υπάρχει ένα λεπτό σημείο στην ως άνω τεκμηρίωση, το οποίο πρέπει απαραίτητα να διευκρινίζεται.
Η παραλληλία δεν προκύπτει από την ισότητα των τόξων και μόνο, αλλά επιπροσθέτως και από το ότι οι ευθείες βρίσκονται προς το αυτό μέρος της γωνίας το κυρτό ή το μη κυρτό ( όπως στο ως άνω σχήμα ).
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Τετ Δεκ 15, 2021 10:33 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Παραλληλία από μεσοκάθετες
Για να δούμε ....ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Σάβ Δεκ 04, 2021 6:15 pmΠαραλληλία από μεσοκάθετες.png
Έστω σημεία των πλευρών αντίστοιχα τριγώνου ώστε: . Αν είναι τα σημεία τομής των μεσοκαθέτων των με τα τόξα του περίκυκλου του τριγώνου που δεν περιέχουν τα αντίστοιχα, να δείξετε ότι
Αν είναι το κέντρο του κύκλου που περνά από τα σημεία τότε,
που σημαίνει ότι το σημείο είναι σημείο του κύκλου Το σημείο λοιπόν αυτό είναι το της άσκησης, όπως και το σημείο
Η διχοτόμος ( μέσο του τόξου ) τής γωνίας είναι κάθετη στο ευθύγραμμο τμήμα Παρατηρούμε ότι
Απλά ας αναφέρουμε ότι τα σημεία είναι οι τομές των κύκλων
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1172
- Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
- Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
Re: Παραλληλία από μεσοκάθετες
Μία ισοδύναμη παραλλαγή της πολύ ενδιαφέρουσας αυτής άσκησης είναι και η παρακάτω:
Αν μία ευθεία είναι κάθετη στην διχοτόμο της γωνίας ενός τριγώνου , τότε οι προβολές των σημείων τομής της ευθείας με τον περίκυκλο του τριγώνου, στις πλευρές (έστω ) ισαπέχουν από τα μέσα των αντίστοιχων πλευρών, δηλαδή . Αντίστροφα, αν τότε η ευθεία είναι κάθετη στην διχοτόμο της .
Αν μία ευθεία είναι κάθετη στην διχοτόμο της γωνίας ενός τριγώνου , τότε οι προβολές των σημείων τομής της ευθείας με τον περίκυκλο του τριγώνου, στις πλευρές (έστω ) ισαπέχουν από τα μέσα των αντίστοιχων πλευρών, δηλαδή . Αντίστροφα, αν τότε η ευθεία είναι κάθετη στην διχοτόμο της .
- Συνημμένα
-
- untitled.png (7.62 KiB) Προβλήθηκε 845 φορές
-
- Δημοσιεύσεις: 292
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 02, 2022 7:28 am
Re: Παραλληλία από μεσοκάθετες
κι εγώ αυτή τη λύση είχα, την παρακάτω
Αν τα σημεία τομής των με τον περίκυκλο του , τότε θα ισχύουν:
(κατακορυφήν)(από ισοσκελές)(λόγω κύκλου), άρα
ομοίως
όμως άρα εγγράψιμο.
άρα τώρα (από εγγράψιμο )(από εγγράψιμο ), δηλαδή έχουμε το ζητούμενο
Αν τα σημεία τομής των με τον περίκυκλο του , τότε θα ισχύουν:
(κατακορυφήν)(από ισοσκελές)(λόγω κύκλου), άρα
ομοίως
όμως άρα εγγράψιμο.
άρα τώρα (από εγγράψιμο )(από εγγράψιμο ), δηλαδή έχουμε το ζητούμενο
Re: Παραλληλία από μεσοκάθετες
Πρόκειται για το θέμα 1 της ΙΜΟ του 2018, που προτάθηκε από την Ελλάδα.
Το πρόβλημα προτάθηκε από τον Βαγγέλη Ψύχα, τον Μιχάλη Σαράντη και εμένα.
Το πρόβλημα προτάθηκε από τον Βαγγέλη Ψύχα, τον Μιχάλη Σαράντη και εμένα.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες