Άθροισμα 45 μοιρών
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Άθροισμα 45 μοιρών
Καλό βράδυ σε όλους! Το θέμα είναι ευρέως γνωστό. Όμως μαζί με παλαιότερες αποδείξεις που μπορούμε
να φέρουμε στο προσκήνιο , πολύ πιθανόν να δούμε -και να χαρούμε βεβαίως- καινούριες προσεγγίσεις!
Δεκτές ασφαλώς για το << τερπνόν του πλουραλισμού>> και εκτός φακέλου λύσεις.
Αν για τις οξείες γωνίες ισχύουν : και τότε να δειχθεί ότι .
Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
να φέρουμε στο προσκήνιο , πολύ πιθανόν να δούμε -και να χαρούμε βεβαίως- καινούριες προσεγγίσεις!
Δεκτές ασφαλώς για το << τερπνόν του πλουραλισμού>> και εκτός φακέλου λύσεις.
Αν για τις οξείες γωνίες ισχύουν : και τότε να δειχθεί ότι .
Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Λέξεις Κλειδιά:
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Άθροισμα 45 μοιρών
Καλησπέρα σε όλους. Αποφεύγω τις τετριμμένες λύσεις. Νομίζω αυτό θα αρέσει στον Γιώργο, αφού εμπλέκονται "γνώριμοι" αριθμοί, έστω και χωρίς άμεση συσχέτιση με το θέμα μας.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα 45 μοιρών
Αργά ή γρήγορα θα βάλω μία (γνωστή) απλή γεωμετρική απόδειξη αλλά για την ώρα ας δούμε την στάνταρ τριγωνομετρική που υπήρχε σε όλες τις παλιές Τριγωνομετρίες:Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Παρ Δεκ 03, 2021 9:13 pm
Αν για τις οξείες γωνίες ισχύουν : και τότε να δειχθεί ότι .
Είναι .
Και επειδή η είναι στο πρώτο ή στο δεύτερο τεταρτημόριο, έπεται ότι είναι στο πρώτο (θετική εφαπτομένη), από όπου .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Άθροισμα 45 μοιρών
Καλημέρα σε όλους! Με νόμο συνημιτόνου, και το συμπέρασμα έπεται.Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Παρ Δεκ 03, 2021 9:13 pmΚαλό βράδυ σε όλους! Το θέμα είναι ευρέως γνωστό. Όμως μαζί με παλαιότερες αποδείξεις που μπορούμε
να φέρουμε στο προσκήνιο , πολύ πιθανόν να δούμε -και να χαρούμε βεβαίως- καινούριες προσεγγίσεις!
Δεκτές ασφαλώς για το << τερπνόν του πλουραλισμού>> και εκτός φακέλου λύσεις.
Αν για τις οξείες γωνίες ισχύουν : και τότε να δειχθεί ότι .
Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
Re: Άθροισμα 45 μοιρών
Κατασκευάζω τον περίκυκλο του τριγώνου θα αποδείξω ότι η γωνίαΓιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Παρ Δεκ 03, 2021 9:13 pmΚαλό βράδυ σε όλους! Το θέμα είναι ευρέως γνωστό. Όμως μαζί με παλαιότερες αποδείξεις που μπορούμε
να φέρουμε στο προσκήνιο , πολύ πιθανόν να δούμε -και να χαρούμε βεβαίως- καινούριες προσεγγίσεις!
Δεκτές ασφαλώς για το << τερπνόν του πλουραλισμού>> και εκτός φακέλου λύσεις.
Αν για τις οξείες γωνίες ισχύουν : και τότε να δειχθεί ότι .
Σας ευχαριστώ, Γιώργος.
αμβλεία και στη συνέχεια ότι η γωνία
Εστω
και τέλος
- Συνημμένα
-
- Αθροισμα 45 μοιρών.png (84.13 KiB) Προβλήθηκε 1017 φορές
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα 45 μοιρών
Γιώργο, αυτή την ωραία γεωμετρική απόδειξη είχα κατά νου όταν έγραφα το προηγούμενό μου ποστ. Υπάρχει σε διάφορα βιβλία, όπως π.χ. στο Tanton, Mathematics Galore, σελίς 2.Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Σάβ Δεκ 04, 2021 12:51 pmΚαλημέρα σε όλους. Άλλη μια δίχως Τριγωνομετρία και δίχως λόγια.
Με την ευκαιρία ας γράψω μια γενίκευση του αποδεικτέου: .
Το παραπάνω είναι η περίπτωση (ή, ένα και το αυτό, )
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Άθροισμα 45 μοιρών
Και έλεγα τι μου θυμίζει, τι μου θυμίζει;
Μα φυσικά ένα ωραίο θεματάκι που ανάρτησε πρόσφατα ο Θανάσης (KARKAR) εδώ. Στο εκεί σχήμα έπεται ότι , που δίνει άλλη μία απόδειξη της παρούσας άσκησης.
Μα φυσικά ένα ωραίο θεματάκι που ανάρτησε πρόσφατα ο Θανάσης (KARKAR) εδώ. Στο εκεί σχήμα έπεται ότι , που δίνει άλλη μία απόδειξη της παρούσας άσκησης.
Re: Άθροισμα 45 μοιρών
Έστω το ημικύκλιο κέντρου και διαμέτρου . Για το σημείο της ισχύει , .
Η κάθετη στην στο τέμνει το ημικύκλιο αυτό στο . Θα ισχύουν : και
.
Γράφω τώρα (προς την ίδια μεριά) το Απολλώνιο ημικύκλιο για κάθε σημείο του οποίου και άρα το ανήκει σ αυτό .
. .
Η κατασκευή γίνεται (ως γνωστό) ως εξής: Φέρνω τη διχοτόμο του και θεωρώ το αρμονικό συζυγές, , του ως προς τα .
Αν , θα έχω: .
Επειδή,
Αλλά από κατασκευής . Αυτό που ήθελα το έδειξα.
Η κάθετη στην στο τέμνει το ημικύκλιο αυτό στο . Θα ισχύουν : και
.
Γράφω τώρα (προς την ίδια μεριά) το Απολλώνιο ημικύκλιο για κάθε σημείο του οποίου και άρα το ανήκει σ αυτό .
. .
Η κατασκευή γίνεται (ως γνωστό) ως εξής: Φέρνω τη διχοτόμο του και θεωρώ το αρμονικό συζυγές, , του ως προς τα .
Αν , θα έχω: .
Επειδή,
Αλλά από κατασκευής . Αυτό που ήθελα το έδειξα.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Άθροισμα 45 μοιρών
Kαι κάτι με παρόμοια εργαλεία, να μην πάει χαμένο το σχήμα...
, οπότε
Λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε .
Οπότε, άρα .
, οπότε
Λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε .
Οπότε, άρα .
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Άθροισμα 45 μοιρών
Καλημέρα! Σας ευχαριστώ θερμά όλους για τις πολλές και ωραίες προσεγγίσεις !
Αφορμή για το θέμα δόθηκε όταν μαθητές μου με ρώτησαν για τον υπολογισμό της γωνίας των διανυσμάτων
αυτών που προβάλλει ο Γιώργος στην ανάρτηση #11 , αν γίνεται με Γεωμετρικά εργαλεία.
Τους έκανα την απόδειξη που ακολουθεί και τους ...υποσχέθηκα(*) πως θα δούμε στο ποικιλία λύσεων Γεωμετρικών και όχι μόνο.. Έχουμε αλλά και
Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές άρα .
(*) Με τη βοήθειά σας .. .. κράτησα την υπόσχεσή μου! Σας ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος.
Αφορμή για το θέμα δόθηκε όταν μαθητές μου με ρώτησαν για τον υπολογισμό της γωνίας των διανυσμάτων
αυτών που προβάλλει ο Γιώργος στην ανάρτηση #11 , αν γίνεται με Γεωμετρικά εργαλεία.
Τους έκανα την απόδειξη που ακολουθεί και τους ...υποσχέθηκα(*) πως θα δούμε στο ποικιλία λύσεων Γεωμετρικών και όχι μόνο.. Έχουμε αλλά και
Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές άρα .
(*) Με τη βοήθειά σας .. .. κράτησα την υπόσχεσή μου! Σας ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος.
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Άθροισμα 45 μοιρών
Χαιρετώ και πάλι.
Σύμφωνα με το παλαιό θέμα τούτο είναι άρα .
ΔΕΝ θα κάνω το λάθος να πω ότι αυτή είναι τελευταία ανάρτηση στο παρόν..
Φιλικά, Γιώργος.
ΔΕΝ θα κάνω το λάθος να πω ότι αυτή είναι τελευταία ανάρτηση στο παρόν..
Φιλικά, Γιώργος.
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Άθροισμα 45 μοιρών
Καλό βράδυ. Επανέρχομαι για να κρατήσω το λόγο μου απέναντι στους μαθητές.
Τους υποσχέθηκα πως θα δημοσιεύσω όποια αξιόλογη λύση βρουν ..δίνοντας τους την ακόλουθη υπόδειξη:
Θεωρείστε δύο ορθογώνια τρίγωνα με λόγο κάθετων πλευρών στο ένα και στο άλλο και "ενώστε τα" με πρόσφορο τρόπο..
Η επόμενη λύση ανήκει στην Σάννα Καραγιάννη , μαθήτρια με ιδιαίτερες δεξιότητες σ' όλα τα μαθήματα! Με το Πυθαγόρειο βρίσκει και . Υπολογίζει το με δύο τρόπους: αλλά και . Προκύπτει οπότε συνεπώς .
Με την ευκαιρία ας δώσω μια ακόμη απόδειξη με τη βοήθεια του Θ. Πτολεμαίου και χρήση του σχήματος Έχουμε , οπότε από το θεώρημα
παίρνουμε (*) .
Όμως και αφού .
Έτσι άρα και τελικά .
(*) Συντομότερα: άρα . Φιλικά, Γιώργος.
Τους υποσχέθηκα πως θα δημοσιεύσω όποια αξιόλογη λύση βρουν ..δίνοντας τους την ακόλουθη υπόδειξη:
Θεωρείστε δύο ορθογώνια τρίγωνα με λόγο κάθετων πλευρών στο ένα και στο άλλο και "ενώστε τα" με πρόσφορο τρόπο..
Η επόμενη λύση ανήκει στην Σάννα Καραγιάννη , μαθήτρια με ιδιαίτερες δεξιότητες σ' όλα τα μαθήματα! Με το Πυθαγόρειο βρίσκει και . Υπολογίζει το με δύο τρόπους: αλλά και . Προκύπτει οπότε συνεπώς .
Με την ευκαιρία ας δώσω μια ακόμη απόδειξη με τη βοήθεια του Θ. Πτολεμαίου και χρήση του σχήματος Έχουμε , οπότε από το θεώρημα
παίρνουμε (*) .
Όμως και αφού .
Έτσι άρα και τελικά .
(*) Συντομότερα: άρα . Φιλικά, Γιώργος.
Re: Άθροισμα 45 μοιρών
Εύσημα για την υπόδειξη του Γιώργου , εύσημα και στην δεσποινίδα ΚαραγιάννηΓιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Δευ Δεκ 20, 2021 12:33 amΚαλό βράδυ. Επανέρχομαι για να κρατήσω το λόγο μου απέναντι στους μαθητές.
Τους υποσχέθηκα πως θα δημοσιεύσω όποια αξιόλογη λύση βρουν ..δίνοντας τους την ακόλουθη υπόδειξη:
Θεωρείστε δύο ορθογώνια τρίγωνα με λόγο κάθετων πλευρών στο ένα και στο άλλο και "ενώστε τα" με πρόσφορο τρόπο..
Η επόμενη λύση ανήκει στην Σάννα Καραγιάννη , μαθήτρια με ιδιαίτερες δεξιότητες σ' όλα τα μαθήματα!
αθρ 45 Λύση Σάννας .png
Με το Πυθαγόρειο βρίσκει και . Υπολογίζει το με δύο τρόπους: αλλά και . Προκύπτει οπότε συνεπώς .
Με την ευκαιρία ας δώσω μια ακόμη απόδειξη με τη βοήθεια του Θ. Πτολεμαίου και χρήση του σχήματος
20-12 αθρ. 45.png
Έχουμε , οπότε από το θεώρημα
παίρνουμε (*) .
Όμως και αφού .
Έτσι άρα και τελικά .
(*) Συντομότερα: άρα . Φιλικά, Γιώργος.
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Άθροισμα 45 μοιρών
Χαιρετώ. Σ' ευχαριστώ Νίκο για την ευαρέσκειά σου προς την υπόδειξη, ας δούμε λοιπόν
μια ακόμη με χρήση της τεχνικής αυτής: Ενώνουμε τα εν λόγω τρίγωνα μύτη με μύτη όπως στο ακόλουθο σχήμα Το είναι ορθογώνιο και το με και .
Στο τρίγωνο έχουμε τις τρεις πλευρές και εύκολα .
Άρα . Φιλικά, ΓΙώργος.
μια ακόμη με χρήση της τεχνικής αυτής: Ενώνουμε τα εν λόγω τρίγωνα μύτη με μύτη όπως στο ακόλουθο σχήμα Το είναι ορθογώνιο και το με και .
Στο τρίγωνο έχουμε τις τρεις πλευρές και εύκολα .
Άρα . Φιλικά, ΓΙώργος.
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Άθροισμα 45 μοιρών
Χαίρετε! Μια (ίσως) τελευταία απόδειξη του παρόντος
Το είναι τετράγωνο. Εύκολα βρίσκουμε άρα σύμφωνα με το κριτήριο 45άρας
παίρνουμε . Η χρήση του παλαιού θέματος στην εδώ απόδειξη,
δεν είναι ο μόνος λόγος για την ανάσυρσή του ... Φιλικά, Γιώργος.
παίρνουμε . Η χρήση του παλαιού θέματος στην εδώ απόδειξη,
δεν είναι ο μόνος λόγος για την ανάσυρσή του ... Φιλικά, Γιώργος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 4 επισκέπτες