Εγγραφή τριγώνου σε δυο ευθείες και έναν κύκλο

#1

Δίντονται δυο ευθείες $\displaystyle{(e_1),(e_2)}$ οι οποίες σχηματίζουν γωνία ίση με $\displaystyle{60^o}$ , κύκλος $\displaystyle{(C)}$
επί του επιπέδου αυτών και σημείο $\displaystyle{A}$ επί του κύκλου αυτού. Να κατασκευαστεί ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$
με $\displaystyle{A=90^o}$ , $\displaystyle{B\in{(e_1)}}$ , $\displaystyle{C\in{(e_2)}}$ και ακόμα να είναι: $\displaystyle{(AC)=\frac{3}{2}(AB)}$ .

: Κατασκευή 3.png (22.74 KiB) Προβλήθηκε 383 φορές

#2

KDORTSI έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 02, 2021 3:30 pm
Δίντονται δυο ευθείες $\displaystyle{(e_1),(e_2)}$ οι οποίες σχηματίζουν γωνία ίση με $\displaystyle{60^o}$ , κύκλος $\displaystyle{(C)}$
επί του επιπέδου αυτών και σημείο $\displaystyle{A}$ επί του κύκλου αυτού. Να κατασκευαστεί ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$
με $\displaystyle{A=90^o}$ , $\displaystyle{B\in{(e_1)}}$ , $\displaystyle{C\in{(e_2)}}$ και ακόμα να είναι: $\displaystyle{(AC)=\frac{3}{2}(AB)}$ .

Κατασκευή 3.png

Ανάλυση

Ας είναι λυμένο το πρόβλημα. Το σταθερό λόγο, $\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{2}{3}$ , μεταφέρω στην

.

Δηλαδή θεωρώ σημείο

του

για το οποίο : $\dfrac{{AS}}{{AC}} = \dfrac{2}{3}$ .

Στρέφω την οριζόντια ημιευθεία ${h_1}$ γύρω από το

κατά γωνία $\theta = 90^\circ$ και προκύπτει η ημιευθεία ${h_3}$ , κάθετη στην ${h_1}$ στο

που διέρχεται από το

.

Το

θα ανήκει σε ευθεία παράλληλη στην ${h_3}$ βάσει του πιο πάνω σταθερού λόγου .

Κατασκευή .

: Τρίγωνο σε δύο ευθείες και ένα κύκλο_Κατασκευή.png (25.04 KiB) Προβλήθηκε 327 φορές

Στρέφω την ${h_1}$ γύρω από το σταθερό

κατά ορθή γωνία και προκύπτει η σταθερή ${h_3}$ , κάθετη στην ${h_1}$ στο σταθερό σημείο

.

Ας είναι

η σταθερή προβολή του

στην ${h_1}$ και

στην προέκταση της

έτσι ώστε , $PT = 2TM\,\,\left( 1 \right)$ . Η κάθετη στην ${h_1}$ στο

τέμνει την ευθεία ${\varepsilon _2}$ στο

.

Θα είναι λόγω της $\left( 1 \right)$ , $AS = 2SC\,\,\,\left( 2 \right)$ . Η κάθετη στην

στο

τέμνει την ${h_1}$ στο

. Το $\vartriangle ABC$ είναι αυτό που θέλω , βάσει της ανάλυσης .

Το πρόβλημα έχει πάντα λύση .

Ο κύκλος $\left( L \right)$ μπορεί να αγνοηθεί . Μας αρκεί η (προσωρινά ας πούμε ) σταθερότητα του

Το πρόβλημα λύνεται και με όμοιο τρόπο και για γωνία διαφορετική των $60^\circ$ .

Μπορούμε να μεταφέρουμε το σταθερό λόγο και στην άλλη ευθεία , δηλαδή στην

: Τρίγωνο σε δύο ευθείες και σε κύκλο_ok.png (15.45 KiB) Προβλήθηκε 318 φορές

Παρατηρήσεις :

Στο παρακάτω δυναμικό αρχείο το σημείο

το έχω επιλέξει εντελώς ελεύθερο ( και όχι κατ' ανάγκη στο κύκλο).

Μπορείτε να το μετακινήσετε ελεύθερα και θα δείτε ότι υπάρχει μια λύση για κάθε θέση του

,διαφορετική από το

.

Τρίγωνο σε δύο ευθείες και σε κύκλο_ok.ggb: (35.67 KiB) Μεταφορτώθηκε 21 φορές

#3

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 04, 2021 7:51 am

KDORTSI έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 02, 2021 3:30 pm
Δίντονται δυο ευθείες $\displaystyle{(e_1),(e_2)}$ οι οποίες σχηματίζουν γωνία ίση με $\displaystyle{60^o}$ , κύκλος $\displaystyle{(C)}$
επί του επιπέδου αυτών και σημείο $\displaystyle{A}$ επί του κύκλου αυτού. Να κατασκευαστεί ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$
με $\displaystyle{A=90^o}$ , $\displaystyle{B\in{(e_1)}}$ , $\displaystyle{C\in{(e_2)}}$ και ακόμα να είναι: $\displaystyle{(AC)=\frac{3}{2}(AB)}$ .

Κατασκευή 3.png
Ανάλυση

Ας είναι λυμένο το πρόβλημα. Το σταθερό λόγο, $\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{2}{3}$ , μεταφέρω στην .

Δηλαδή θεωρώ σημείο του για το οποίο : $\dfrac{{AS}}{{AC}} = \dfrac{2}{3}$ .

Στρέφω την οριζόντια ημιευθεία ${h_1}$ γύρω από το κατά γωνία $\theta = 90^\circ$ και προκύπτει η ημιευθεία ${h_3}$ , κάθετη στην ${h_1}$ στο που διέρχεται από το .

Το θα ανήκει σε ευθεία παράλληλη στην ${h_3}$ βάσει του πιο πάνω σταθερού λόγου .

Κατασκευή .

Τρίγωνο σε δύο ευθείες και ένα κύκλο_Κατασκευή.png
Στρέφω την ${h_1}$ γύρω από το σταθερό κατά ορθή γωνία και προκύπτει η σταθερή ${h_3}$ , κάθετη στην ${h_1}$ στο σταθερό σημείο .

Ας είναι η σταθερή προβολή του στην ${h_1}$ και στην προέκταση της έτσι ώστε , $PT = 2TM\,\,\left( 1 \right)$ . Η κάθετη στην ${h_1}$ στο τέμνει την ευθεία ${\varepsilon _2}$ στο .

Θα είναι λόγω της $\left( 1 \right)$ , $AS = 2SC\,\,\,\left( 2 \right)$ . Η κάθετη στην στο τέμνει την ${h_1}$ στο . Το $\vartriangle ABC$ είναι αυτό που θέλω , βάσει της ανάλυσης .

Το πρόβλημα έχει πάντα λύση .

Ο κύκλος $\left( L \right)$ μπορεί να αγνοηθεί . Μας αρκεί η (προσωρινά ας πούμε ) σταθερότητα του

Το πρόβλημα λύνεται και με όμοιο τρόπο και για γωνία διαφορετική των $60^\circ$ .

Μπορούμε να μεταφέρουμε το σταθερό λόγο και στην άλλη ευθεία , δηλαδή στην

Τρίγωνο σε δύο ευθείες και σε κύκλο_ok.png
Παρατηρήσεις :

Στο παρακάτω δυναμικό αρχείο το σημείο το έχω επιλέξει εντελώς ελεύθερο ( και όχι κατ' ανάγκη στο κύκλο).

Μπορείτε να το μετακινήσετε ελεύθερα και θα δείτε ότι υπάρχει μια λύση για κάθε θέση του ,διαφορετική από το
.
Τρίγωνο σε δύο ευθείες και σε κύκλο_ok.ggb

Νίκο καλημέρα από Γρεβενά..
Έχεις δίκιο για το ότι ο κύκλος μπορεί να αγνοηθεί. Το έδωσα έτσι για να έχει νόημα
η έκφραση: "Να εγγραφεί τρίγωνο σε κύκλο και δυο ευθείες" ή στο προηγούμενό μου
πρόβλημα: "Να εγγραφεί τρίγωνο σε τρείς κύκλους".
Έχει ενδιαφέρον, γιατί αν θελήσουμε να προχωρήσουμε και σε άλλα ερωτήματα μας
διευκολύνει να δίνεται και ο κύκλος. Για παράδειγμα να ζητήσουμε το γ. τόπο του
βαρυκέντρου, του εγγκέντρου και άλλων χαρακτηριστικών σημείων του τριγώνου κλπ.

Σε ότι αφορά τη γωνία των ευθειών την έδωσα διαφορετική από την ορθή
για να έχει το πρόβλημα πάντα λύση.

Είδα επίσης και το δυναμικό σου σχήμα με τα επιπλέον εργαλεία που έχεις και
μου άρεσε. Αλήθεια πότε στα σχολεία μας τα παιδιά θα έχουν αυτά τα εργαλεία
στη διάθεσή τους; Αυτό ερωτώ...

Να είσαι πάντα καλά...

Κώστας Δόρτσιος

Εγγραφή τριγώνου σε δυο ευθείες και έναν κύκλο

Εγγραφή τριγώνου σε δυο ευθείες και έναν κύκλο

Re: Εγγραφή τριγώνου σε δυο ευθείες και έναν κύκλο

Re: Εγγραφή τριγώνου σε δυο ευθείες και έναν κύκλο

Μέλη σε σύνδεση