Εγγραφή τριγώνου σε τρεις κύκλους
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Εγγραφή τριγώνου σε τρεις κύκλους
Δίνονται οι τρεις ομόκεντροι κύκλοι: και σημείο επί του .
Να "εγγραφεί" σ' αυτούς ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο.
Δηλαδή ένα τρίγωνο με κορυφή της ορθής γωνίας το δοσμένο σημείο και τις άλλες δύο κορυφές
στους άλλους δυο κύκλους αντίστοιχα.
Να "εγγραφεί" σ' αυτούς ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο.
Δηλαδή ένα τρίγωνο με κορυφή της ορθής γωνίας το δοσμένο σημείο και τις άλλες δύο κορυφές
στους άλλους δυο κύκλους αντίστοιχα.
Λέξεις Κλειδιά:
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Εγγραφή τριγώνου σε τρεις κύκλους
Η άρση της απόκρυψης μετά την επόμενη λύση:
Αν μου επιτρέπει ο Κώστας δίνω μία Ευκλείδεια Γεωμετρική αντίληψη:
Θεωρούμε σημείο του κύκλου , και έστω το ζητούμενο ισοσκελές τρίγωνο Θεωρούμε το ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο Τα τρίγωνα προκύπτουν ίσα, άρα Οι τομές των κύκλων ( είναι η ακτίνα του κύκλου ), αν υπάρχουν (διερεύνηση) δίνουν την κορυφή άρα και το ζητούμενο τρίγωνο edit: Μετά την λύση του Νίκου έκανα άρση της απόκρυψης, ώστε να φανεί και η ημέτερη λύση.
Αν μου επιτρέπει ο Κώστας δίνω μία Ευκλείδεια Γεωμετρική αντίληψη:
Θεωρούμε σημείο του κύκλου , και έστω το ζητούμενο ισοσκελές τρίγωνο Θεωρούμε το ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο Τα τρίγωνα προκύπτουν ίσα, άρα Οι τομές των κύκλων ( είναι η ακτίνα του κύκλου ), αν υπάρχουν (διερεύνηση) δίνουν την κορυφή άρα και το ζητούμενο τρίγωνο edit: Μετά την λύση του Νίκου έκανα άρση της απόκρυψης, ώστε να φανεί και η ημέτερη λύση.
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Τετ Δεκ 01, 2021 9:46 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Re: Εγγραφή τριγώνου σε τρεις κύκλους
ΚατασκευήKDORTSI έγραψε: ↑Τρί Νοέμ 30, 2021 1:26 pmΔίνονται οι τρεις ομόκεντροι κύκλοι: και σημείο επί του .
Να "εγγραφεί" σ' αυτούς ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο.
Δηλαδή ένα τρίγωνο με κορυφή της ορθής γωνίας το δοσμένο σημείο και τις άλλες δύο κορυφές
στους άλλους δυο κύκλους αντίστοιχα.
Κατασκευή τριγώνου 1.png
Με δεδομένο το σημείο του φέρνω την και τέμνει τον πιο μικρό κύκλο σε 2 σημεία , έστω το ένα απ’ αυτά .
Κατασκευάζω το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ( ή το όμοιο του ζητούμενου εν γένει).
Η από το παράλληλη προς την τέμνει την σε σημείο . Γράφω τον κύκλο , και τέμνει τον στο σημείο .
Η κάθετη στην στο τέμνει τον στο . Το είναι αυτό που θέλω.
Απόδειξη
Τα τρίγωνα είναι ίσα . και έμμεσο κριτήριο .
Από την προηγούμενη ισότητα έχω άρα το είναι ορθογώνιο και ισοσκελές .
Το πρόβλημα έχει ή καμιά λύση αν ο κύκλος τέμνει εφάπτεται ή δεν έχει κοινό σημείο με τον κύκλο ,
Στο πιο πάνω σχήμα έχω επιλέξει την ακτίνα του μεσαίου κύκλου αντί , Για καλλίτερη εποπτεία.
- nickchalkida
- Δημοσιεύσεις: 312
- Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
- Επικοινωνία:
Re: Εγγραφή τριγώνου σε τρεις κύκλους
Η κατασκευή μου δεν διαφέρει από αυτές των συναδέλφων, αλλά τη δίνω για την διατύπωση του ακόλουθου λήμματος.
Αν , σταθερά σημεία του επιπέδου, και το περιστρέφεται περί του στον σταθερό κύκλο ,
κάθε σημείο του επιπέδου τέτοιο ώστε
θα διαγράφει επίσης κύκλο, κέντρου και ακτίνας , και θα είναι
Επί της άσκησης, τα σημεία , του σχήματος προσδιορίζουν δύο λύσεις του προβλήματος δηλαδή δύο ορθογώνια, ισοσκελή τρίγωνα
(για οικονομία σχεδίασα μόνο το ένα)
Αν , σταθερά σημεία του επιπέδου, και το περιστρέφεται περί του στον σταθερό κύκλο ,
κάθε σημείο του επιπέδου τέτοιο ώστε
θα διαγράφει επίσης κύκλο, κέντρου και ακτίνας , και θα είναι
Επί της άσκησης, τα σημεία , του σχήματος προσδιορίζουν δύο λύσεις του προβλήματος δηλαδή δύο ορθογώνια, ισοσκελή τρίγωνα
(για οικονομία σχεδίασα μόνο το ένα)
- Συνημμένα
-
- rsz_circles123.png (70.67 KiB) Προβλήθηκε 406 φορές
Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Εγγραφή τριγώνου σε τρεις κύκλους
Ας δούμε και μίας άλλης νοοτροπίας διαπραγμάτευση (αναγκαίος ο πλουραλισμός γαρ):
Θέλουμε την κατασκευή στο FIG.1.
Κατασκευάζουμε το σχήμα FIG.2, ως εξής:
Παίρνουμε ως βάση ένα ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο Κατασκευάζουμε σημείο έτσι ώστε ως τομή δύο Απολλώνιων κύκλων με βάσεις αντίστοιχα και αντίστοιχους λόγους Έτσι έχουμε τον κατασκευαστικό προσδιορισμό των γωνιών Μεταβαίνουμε τώρα στους δεδομένους κύκλους του FIG.1. και κατασκευάζουμε τις γωνίες και Εύκολα τώρα, λόγω της ομοιότητας, προκύπτει ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές με
(*) Το πρόβλημα αυτό μπορεί να λυθεί για τρείς τυχόντες άνισους και ομόκεντρους κύκλους, όπου θα ζητείται η κατασκευή τριγώνου , όμοιου προς δοθέν, σε πλήρη δηλαδή γενίκευση. Μένει βέβαια για το δεδομένο πρόβλημα του εισηγητή και φίλτατου Κώστα, η αντιμετώπιση του με "Εργαλεία Καρτέσιου".
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Re: Εγγραφή τριγώνου σε τρεις κύκλους
Σωτήρη και Νίκο καθώς και nikhchalkida σας ευχαριστώ που ασχοληθήκατε με το θέμα αυτό
το οποίο είχε ως κεντρική ιδέα το μετασχηματισμό της στροφής.
Ο μετασχηματισμός αυτός είναι πολύ λειτουργικός σχεδόν σε όλα τα λογισμικά.
Είναι και πολύ εντυπωσιακός αν αξιοποιήσει κανείς και την κινητικότητα της όλης
διαδικασίας.
Θα μπορούσε κανείς να επεκτείνει το πρόβλημα αν αντί για κύκλους θεωρήσει ευθείες
ή ακόμα και άλλες γραμμές. Το θέμα γίνεται δυσκολότερο.
Έδωσα αριθμητικά δεδομένα για μια περίπτωση. Η διερεύνηση σε βάθος θα μπορούσε
να γίνει με αναλυτική μέθοδο.
Σωτήρη η δεύτερή σου ιδέα είναι όμορφη και αναρτώ το παρακάτω σχήμα για
"του λόγου το αληθές" και για τη συγκεκριμένη περίπτωση.
Υπενθύμιση: Το σημείο βρέθηκε από τη γωνία .
Να είστε καλά.
Κώστας Δόρτσιος
το οποίο είχε ως κεντρική ιδέα το μετασχηματισμό της στροφής.
Ο μετασχηματισμός αυτός είναι πολύ λειτουργικός σχεδόν σε όλα τα λογισμικά.
Είναι και πολύ εντυπωσιακός αν αξιοποιήσει κανείς και την κινητικότητα της όλης
διαδικασίας.
Θα μπορούσε κανείς να επεκτείνει το πρόβλημα αν αντί για κύκλους θεωρήσει ευθείες
ή ακόμα και άλλες γραμμές. Το θέμα γίνεται δυσκολότερο.
Έδωσα αριθμητικά δεδομένα για μια περίπτωση. Η διερεύνηση σε βάθος θα μπορούσε
να γίνει με αναλυτική μέθοδο.
Σωτήρη η δεύτερή σου ιδέα είναι όμορφη και αναρτώ το παρακάτω σχήμα για
"του λόγου το αληθές" και για τη συγκεκριμένη περίπτωση.
Υπενθύμιση: Το σημείο βρέθηκε από τη γωνία .
Να είστε καλά.
Κώστας Δόρτσιος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες