Καθετότητα του DARIJ GRINBERG

#1

: Καθετότητα του DARIJ GRINBERG.png (29.96 KiB) Προβλήθηκε 924 φορές

Έστω τα ίχνη των εσωτερικών διχοτόμων των γωνιών αντίστοιχα τριγώνου $\vartriangle ABC$ . Να δειχθεί ότι $O{{I}_{a}}\bot DE$ , όπου $O,{{I}_{a}}$ το περίκεντρο και το παράκεντρο του εν λόγω τριγώνου

Στάθης

#2

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 26, 2021 11:33 pm
Καθετότητα του DARIJ GRINBERG.png
Έστω τα ίχνη των εσωτερικών διχοτόμων των γωνιών αντίστοιχα τριγώνου $\vartriangle ABC$ . Να δειχθεί ότι $O{{I}_{a}}\bot DE$ , όπου $O,{{I}_{a}}$ το περίκεντρο και το παράκεντρο του εν λόγω τριγώνου

Στάθης

Επαναφορά (ευκολάκι Αλέξανδρε!)

Al.Koutsouridis · #3

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 01, 2021 11:09 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 26, 2021 11:33 pm
Καθετότητα του DARIJ GRINBERG.png
Έστω τα ίχνη των εσωτερικών διχοτόμων των γωνιών αντίστοιχα τριγώνου $\vartriangle ABC$ . Να δειχθεί ότι $O{{I}_{a}}\bot DE$ , όπου $O,{{I}_{a}}$ το περίκεντρο και το παράκεντρο του εν λόγω τριγώνου

Στάθης
Επαναφορά (ευκολάκι Αλέξανδρε!)

Περίμενα να το λύσουν άλλοι, αλλά αφού δεν λύθηκε, έγινε νύξη και δεν έχω κάποια ιδιαίτερη ντροπή να χρησιμοποιήσω πιό σύγχρονα θεωρήματα ας έχει

.

Έστω για ευκολία a,b,c

τα μήκη των πλευρών του τριγώνου ABC

και

τα μήκη των τμημάτων BZ, CZ

όπου

το σημείο επαφής του παραγεγραμμένου κύκλου με την πλευρά

.

Τότε θα έχουμε x+c=y+b

και

. Επιλύουμε ως προς x,y

το παραπάνω σύστημα και βρίσκουμε

$x=\dfrac{a+b-c}{2}$ και $y=\dfrac{a+c-b}{2}$ .

Έστω n,m

τα μήκη της προβολής του τμήματος $OI_{a}$ στις ευθείες AB, AC

αντίστοιχα. Τότε θα είναι

$n=x+\dfrac{c}{2}=\dfrac{a+b-c}{2}+\dfrac{c}{2}=\dfrac{a+b}{2}$

$m=y+\dfrac{b}{2}=\dfrac{a+c-b}{2}+\dfrac{b}{2}=\dfrac{a+c}{2}$

Από το θεώρημα διχοτόμων (ίσως για αυτό δεν ασχολήθηκε κανείς, είναι εκτός ύλης) έχουμε,

$AE=\dfrac{bc}{a+b}$ και $AD=\dfrac{bc}{a+c}$ .

Στο σημείο αυτό, παρατηρούμε ότι

$\dfrac{AE}{AD} = \dfrac{\dfrac{bc}{a+b}}{\dfrac{bc}{a+c}}=\dfrac{a+c}{a+b}=\dfrac{m}{n}$ .

Επομένως, από το θεώρημα Στάθης Κούτρας προκύπτει, ότι $ED \perp OI_{a}$ .

Καθετότητα του DARIJ GRINBERG

Καθετότητα του DARIJ GRINBERG

Re: Καθετότητα του DARIJ GRINBERG

Re: Καθετότητα του DARIJ GRINBERG

Μέλη σε σύνδεση