Διάμεσος παράλληλη σε ακτίνα

giannimani · #1

: medi_par_rad.png (17.49 KiB) Προβλήθηκε 435 φορές

Σε τρίγωνο ABC

το σημείο

είναι το μέσο της πλευράς

, το

το περίκεντρο του $\triangle ABC$ , και τα

,

είναι τα ίχνη των καθέτων, που άγονται από το

, στις πλευρές

,

αντίστοιχα. Έστω

το μέσο του

. Να αποδείξετε ότι $OA \parallel MK$ .

#2

giannimani έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 18, 2021 7:20 pm
medi_par_rad.pngΣε τρίγωνο το σημείο είναι το μέσο της πλευράς , το το περίκεντρο του $\triangle ABC$ , και τα , είναι τα ίχνη των καθέτων, που άγονται από το , στις πλευρές , αντίστοιχα. Έστω το μέσο του . Να αποδείξετε ότι $OA \parallel MK$ .

: Διάμεσος παράλληλη σε ακτίνα.png (43.87 KiB) Προβλήθηκε 401 φορές

Προφανώς το τετράπλευρο ADME

είναι (λόγω των ορθών γωνιών) εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου

και ας είναι

το κέντρο του και $F\equiv AM\cap \left( O \right)$
Τότε : $\angle DEM\overset{A,D,M,E\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle DAM\equiv \angle BAF\overset{A,B,F,C\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle BCF:\left( 1 \right)$ και ομοίως $\angle MDE=\ldots \angle FBC:\left( 2 \right)$
Από $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ προκύπτει η ομοιότητα των τριγώνων $\vartriangle DME,\vartriangle BFC$ άρα και η ισότητα των ομολόγων γωνιών (ομόλογες γωνίες διαμέσων και ακτινών περιγεγραμμένων στα ως άνω όμοια τρίγωνα κύκλων), δηλαδή $\angle KML=\angle MFO\overset{OF=OA}{\mathop{=}}\,\angle OAF$ ή $\angle KMA=\angle OAM\overset{\varepsilon \nu \tau o\varsigma \,\,\varepsilon \nu \alpha \lambda \lambda \alpha \xi \,....}{\mathop{\Rightarrow }}\,MK\parallel OA$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Σημείωση: Πάρα πολύ ωραίο πρόβλημα Γιάννη

Διάμεσος παράλληλη σε ακτίνα

Διάμεσος παράλληλη σε ακτίνα

Re: Διάμεσος παράλληλη σε ακτίνα

Μέλη σε σύνδεση