6 κύκλοι και 1 εξάγωνο

#1

: 6 κύκλοι και 1 εξάγωνο.png (25.6 KiB) Προβλήθηκε 574 φορές

Στο σχήμα έχουμε ένα κανονικό εξάγωνο πλευράς

τρεις ίσους κόκκινους κύκλους ακτίνας

και τρεις ίσους κίτρινους

κύκλους ακτίνας

Κάθε κύκλος διέρχεται από μία κορυφή του εξαγώνου και εφάπτεται εξωτερικά στους δύο διπλανούς

του κύκλους. Να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{R}{r}.$

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 26, 2021 5:58 pm
6 κύκλοι και 1 εξάγωνο.png
Στο σχήμα έχουμε ένα κανονικό εξάγωνο πλευράς τρεις ίσους κόκκινους κύκλους ακτίνας και τρεις ίσους κίτρινους

κύκλους ακτίνας Κάθε κύκλος διέρχεται από μία κορυφή του εξαγώνου και εφάπτεται εξωτερικά στους δύο διπλανούς

του κύκλους. Να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{R}{r}.$

Μπήκε ο χειμώνας και η άσκηση περιμένει

Από τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο $\vartriangle OK{K}'\Rightarrow {{\left( KK' \right)}^{2}}={{\left( OK \right)}^{2}}+{{\left( O{K}' \right)}^{2}}-2\left( OK \right)\cdot \left( O{K}' \right)\cdot \cos {{60}^{0}}$ ή ισοδύναμα έχουμε:
${{\left( R+r \right)}^{2}}={{\left( R+a \right)}^{2}}+{{\left( a+r \right)}^{2}}-2\left( R+a \right)\left( a+r \right)\cdot \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \ldots {{a}^{2}}-3Rr+a\left( R+r \right)=0:\left( 1 \right)$ Να υποθέσω (πράγμα που δεν είναι και υποχρεωτικό , μόνο λόγω συμβολισμών του Γιώργου ότι R>r

: 6 κύκλοι και ένα εξάγωνο.png (53.82 KiB) Προβλήθηκε 418 φορές

Από τη σχέση $\left( 1 \right)$ έχουμε ισοδύναμα $R\left( 3r-a \right)=a\left( a+r \right)>0:\left( 2 \right)\Rightarrow r>\dfrac{a}{3}$
Αν λοιπόν $r=m\cdot a:\left( 3 \right)$ πρέπει $ma>\dfrac{a}{3}\Rightarrow m>\dfrac{1}{3}$ και για $r=m\cdot a\overset{\left( 2 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\ldots R=\dfrac{m+1}{3m-1}\cdot a$ και με R>r

(αν όντως καλώς έχω υποθέσει κατά τον Γιώργο) θα πρέπει και $\dfrac{m+1}{3m-1}\cdot a>m\cdot a\overset{a>0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\dfrac{m+1}{3m-1}-m>0\Leftrightarrow \dfrac{-3{{m}^{2}}+2m+1}{3m-1}>0\Leftrightarrow$ $\left( -3{{m}^{2}}+2m+1 \right)\left( 3m-1 \right)>0\Leftrightarrow \ldots -3\left( m-1 \right){{\left( 3m-1 \right)}^{2}}>0\overset{-3{{\left( 3m-1 \right)}^{2}}<0\left( m>\frac{1}{3} \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,m<1$
Έτσι προκύπτουν οι άπειρες τιμές του λόγου $\dfrac{R}{r}=\dfrac{m+1}{m\left( 3m-1 \right)},m\in \left( \dfrac{1}{3},1 \right)$
Παρατήρηση : στο σχήμα (βασικό) έχει επιλεγεί $m=\dfrac{1}{2}$ και στο διακεκομμένο $m=\dfrac{2}{3}$

#3

Στάθη, σ' ευχαριστώ πολύ για τη λύση και τη διερεύνηση

Ας το απλουστεύσουμε λιγάκι.

: 6 κύκλοι και 1 εξάγωνο.β.png (32.92 KiB) Προβλήθηκε 352 φορές

Υποθέτουμε ότι η διάταξη του αρχικού σχήματος μπορεί να εγγραφεί σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ABC

(όπως

φαίνεται στο παραπάνω σχήμα). Ας αποδείξουμε τώρα ότι ο λόγος $\dfrac{R}{r}$ είναι σταθερός, ανεξάρτητος του

.

6 κύκλοι και 1 εξάγωνο

6 κύκλοι και 1 εξάγωνο

Re: 6 κύκλοι και 1 εξάγωνο

Re: 6 κύκλοι και 1 εξάγωνο

Μέλη σε σύνδεση