Αγώνας για την ισότητα

KARKAR · #1

: Αγώνας για την ισότητα.png (6.83 KiB) Προβλήθηκε 412 φορές

Στην προέκταση της πλευράς

, τριγώνου ABC

, θεωρούμε σημείο

και φέρουμε την κάθετη

προς την

, η οποία τέμνει την

στο σημείο

. Αν :

, υπολογίστε το

,

συναρτήσει των πλευρών του ABC

. Εφαρμογή για : a=6 ,b=5 , c=4

.

#2

Ας θεωρήσουμε τη περίπτωση που οι γωνίες $\widehat {{B_{}}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{C_{}}}$ είναι οξείες .

Φέρνω το ύψος

και την από το

παράλληλη στην

που τέμνει την

στο

.

Θέτω : $AS = x\,\,,\,\,BD = d\,\,,\,\,DT = m\,\,,\,\,TC = k \Rightarrow CE = k$ . Θ ισχύουν:

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{SA}}{{SA}} = \frac{{EC}}{{CB}} \hfill \\ \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{TD}}{{DB}} \hfill \\ TC = BC - BD - DT \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{x}{c} = \frac{k}{a} \hfill \\ \frac{x}{c} = \frac{m}{d} \hfill \\ k = a - d - m \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} ax = kc\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ m = \frac{{xd}}{c}\,\, \hfill \\ k = a - d - \frac{{xd}}{c}\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: Αγώνας για την ισότητα_a.png (11.93 KiB) Προβλήθηκε 394 φορές

Η $\left( 1 \right)$ λόγω της $\left( 2 \right)$ δίδει: $\boxed{x = \frac{{a - d}}{{a + d}}c}$ .

Αλλά από το θεώρημα των προβολών , $\boxed{d = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}}}$ οπότε:

$\boxed{x = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{3{a^2} - {b^2} + {c^2}}}c}$ .

Αν μια από τις γωνίες στα σημεία $B\,\,,\,\,C$ είναι αμβλεία εργάζομαι παρεμφερώς .

Στο πιο πάνω σχήμα είναι , $a = 7\,\,,\,\,b = 4\,\,,\,\,c = 5\,\,$ και προκύπτει:

$\boxed{x = \frac{{50}}{{39}}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 18, 2021 9:30 pm
Αγώνας για την ισότητα.pngΣτην προέκταση της πλευράς , τριγώνου , θεωρούμε σημείο και φέρουμε την κάθετη

προς την , η οποία τέμνει την στο σημείο . Αν : , υπολογίστε το ,

συναρτήσει των πλευρών του . Εφαρμογή για : .

Στο σχήμα είναι TK||AB,

οπότε

: Για την ισότητα.png (9.34 KiB) Προβλήθηκε 333 φορές

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle \frac{x}{c} = \frac{{TC}}{a} = \frac{{KC}}{b} \Rightarrow$ $\boxed{TC = \frac{{ax}}{c}}$ , $\boxed{KC = \frac{{bx}}{c}}$ και $\boxed{BT = \frac{{a(c - x)}}{c}}$

$\displaystyle \bullet$ Π. Θ στο BST,

$\displaystyle S{T^2} = {(c + x)^2} + \frac{{{a^2}{{(c - x)}^2}}}{{{c^2}}} \Leftrightarrow M{T^2} = \frac{{{{(c + x)}^2}}}{4} + \frac{{{a^2}{{(c - x)}^2}}}{{4{c^2}}}$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle AK = b - KC = \frac{{b(c - x)}}{c} \Leftrightarrow MK = \frac{{b(c - x)}}{{2c}}$ και $\displaystyle MC = \frac{{b(c + x)}}{{2c}}$

Τέλος με Π.Θ στο MTC,

$\displaystyle \frac{{{b^2}{{(c + x)}^2}}}{{4{c^2}}} = \frac{{{a^2}{x^2}}}{{{c^2}}} + \frac{{{{(c + x)}^2}}}{4} + \frac{{{a^2}{{(c - x)}^2}}}{{4{c^2}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=\frac{(a^2+b^2-c^2)c}{3a^2+c^2-b^2}}$

Για την εφαρμογή, αντικαθιστώ στον γενικό τύπο και έχω $\boxed{x=\frac{20}{11}}$

Αγώνας για την ισότητα

Αγώνας για την ισότητα

Re: Αγώνας για την ισότητα

Re: Αγώνας για την ισότητα

Μέλη σε σύνδεση