Τεμαχισμός τμήματος

KARKAR · #1

: Τεμαχισμός τμήματος.png (5.21 KiB) Προβλήθηκε 462 φορές

Στο ακτίνας

τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , από το μέσο

της χορδής

, φέρουμε : $MS \parallel OA$ .

Α) Υπολογίστε το τμήμα

( συναρτήσει του

) .

Β) Το

χωρίζει το κυκλικό τμήμα σε δύο υποτμήματα . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{E_{\pi\alpha\nu\omega}}{E_{\kappa\alpha\tau\omega}}$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 03, 2021 2:13 pm
Τεμαχισμός τμήματος.pngΣτο ακτίνας τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , από το μέσο της χορδής , φέρουμε : $MS \parallel OA$ .

Α) Υπολογίστε το τμήμα ( συναρτήσει του ) .

Β) Το χωρίζει το κυκλικό τμήμα σε δύο υποτμήματα . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{E_{\pi\alpha\nu\omega}}{E_{\kappa\alpha\tau\omega}}$

: Τεμαχισμός τμήματος.png (12.2 KiB) Προβλήθηκε 441 φορές

Α) $\displaystyle MS = \frac{r}{2}\left( {\sqrt 3 - 1} \right)$ .......... Β) $\displaystyle \frac{{{E_{\rm{\pi }}}}}{{{E_\kappa }}} = \frac{{4\pi - 3 - 3\sqrt 3 }}{{2\pi - 9 + 3\sqrt 3 }}$

Edit: Άρση απόκρυψης.

#3

Kαλησπέρα σε όλους. Με επιφύλαξη για τις πράξεις (δεν τις έχω ελέγξει).

: 03-06-2021 Γεωμετρία.png (46.99 KiB) Προβλήθηκε 435 φορές

Στο

είναι $\displaystyle MN = \frac{{AO}}{2} = \frac{R}{2}$ και $\displaystyle NO = \frac{R}{2} \Rightarrow SK = \frac{R}{2}$ , οπότε $\displaystyle \widehat {KOS} = 30^\circ$ και $\displaystyle KO = \frac{{R\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow SN = \frac{{R\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow SM = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}R$

Είναι $\displaystyle \widehat {SOT} = 120^\circ$ , οπότε $\displaystyle {E_{\kappa .\tau \mu \left( {SBT} \right)}} = \frac{{\pi {R^2}}}{3} - \frac{{{R^2}\eta \mu 120^\circ }}{2} = \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right){R^2}$

Αφαιρούμε το εμβαδόν του (BML)

και διαιρούμε δια

:

$\displaystyle {E_{\pi \alpha \nu \omega }} = \left( {\frac{{4\pi - 3\sqrt 3 - 3}}{{24}}} \right){R^2}$

Είναι $\displaystyle {E_{\kappa .\tau \mu \left( {ASB} \right)}} = \frac{{\pi {R^2}}}{4} - \frac{{{R^2}}}{2} = \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right){R^2}$

Άρα $\displaystyle {E_{\kappa \alpha \tau \omega }} = \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right){R^2} - {E_{\pi \alpha \nu \omega }} = \frac{{2\pi + 3\sqrt 3 - 9}}{{24}}{R^2}$

Οπότε $\displaystyle \frac{{{E_{\pi \alpha \nu \omega }}}}{{{E_{\kappa \alpha \tau \omega }}}} = \frac{{4\pi - 3\sqrt 3 - 3}}{{2\pi + 3\sqrt 3 - 9}}$

edit: Όπως σωστά εκτίμησα, είχα κάνει λάθος στις πράξεις! Ευχαριστώ τον Γιώργο για την υπόδειξη.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 03, 2021 2:13 pm
Τεμαχισμός τμήματος.pngΣτο ακτίνας τεταρτοκύκλιο $O\overset{\frown}{AB}$ , από το μέσο της χορδής , φέρουμε : $MS \parallel OA$ .

Α) Υπολογίστε το τμήμα ( συναρτήσει του ) .

Β) Το χωρίζει το κυκλικό τμήμα σε δύο υποτμήματα . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{E_{\pi\alpha\nu\omega}}{E_{\kappa\alpha\tau\omega}}$

A) $\displaystyle OP = \frac{{OS}}{2} \Rightarrow P\widehat SO = 30^\circ \Leftrightarrow M\widehat OS = 15^\circ$ και με νόμο συνημιτόνου στο MOS,

$\displaystyle M{S^2} = {r^2} + \frac{{{r^2}}}{2} - 2r \cdot \frac{{r\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}} \right) \Leftrightarrow$ $\boxed{MS = \frac{r}{2}\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}$

: Τεμαχισμός τμήματος.png (12.76 KiB) Προβλήθηκε 416 φορές

B) Έστω

το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος και (T)

το εμβαδόν του κόκκινου χωρίου. $\boxed{\frac{{{E_{\rm{\pi }}}}}{{{E_\kappa }}} = \frac{{(E/2) + (T)}}{{(E/2) - (T)}}}$ (1)

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle (E) = \frac{{\pi {r^2}}}{4} - (OAB) = \frac{{\pi {r^2}}}{4} - \frac{1}{2}{r^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{(E) = \frac{{{r^2}}}{4}(\pi - 2)}$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle (T) = \frac{{15\pi {r^2}}}{{360}} - (OMS) = \frac{{\pi {r^2}}}{{24}} - \frac{r}{2} \cdot \frac{{r\sqrt 2 }}{2}\sin 15^\circ \Leftrightarrow$ $\boxed{(T) = \frac{{{r^2}}}{{24}}\left( {\pi + 3 - 3\sqrt 3 } \right)}$

Με αντικατάσταση στην (1)

παίρνω, $\boxed{\frac{{{E_{\rm{\pi }}}}}{{{E_\kappa }}} = \frac{{4\pi - 3 - 3\sqrt 3 }}{{2\pi - 9 + 3\sqrt 3 }}}$

Τεμαχισμός τμήματος

Τεμαχισμός τμήματος

Re: Τεμαχισμός τμήματος

Re: Τεμαχισμός τμήματος

Re: Τεμαχισμός τμήματος

Μέλη σε σύνδεση