Ελεγχόμενο μήκος

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελεγχόμενο μήκος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μάιος 26, 2021 8:34 pm

Ελεγχόμενο  μήκος.png
Ελεγχόμενο μήκος.png (8.95 KiB) Προβλήθηκε 168 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , με AB > AC , θεωρούμε σημείο S της AB , ώστε :

AS=AC και φέρουμε : SM \perp BC . α) Δείξτε ότι η MA , διχοτομεί την \widehat{CMS} .

β) Υπολογίστε τον λόγο \dfrac{AB}{AC} , ώστε το σημείο M να είναι το μέσο της υποτείνουσας BC .



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2080
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ελεγχόμενο μήκος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Μάιος 26, 2021 10:12 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Μάιος 26, 2021 8:34 pm
Ελεγχόμενο μήκος.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , με AB > AC , θεωρούμε σημείο S της AB , ώστε :

AS=AC και φέρουμε : SM \perp BC . α) Δείξτε ότι η MA , διχοτομεί την \widehat{CMS} .

β) Υπολογίστε τον λόγο \dfrac{AB}{AC} , ώστε το σημείο M να είναι το μέσο της υποτείνουσας BC .
A)Στο εγγράψιμμο ACMS είναι AC=AS άρα  \angle CMA= \angle AMS=45^0= \angle CSA

B)Όταν M μέσον της BC\Rightarrow SB=SC και

\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AS+SB+}{AC}=1+ \dfrac{SB}{AC}=1+ \dfrac{CS}{AC}=1+ \dfrac{1}{ \dfrac{AC}{CS} } =1+\dfrac{1}{sin45^0} =1+ \sqrt{2}
ελεγχόμενο μήκος.png
ελεγχόμενο μήκος.png (10.46 KiB) Προβλήθηκε 156 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ελεγχόμενο μήκος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Μάιος 26, 2021 10:17 pm

α) Προφανές αφού το τετράπλευρο ASMC είναι εγγράψιμο σε κύκλο και οι χορδές του AS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC ίσες

β)

Κατασκευή
Ελεγχόμενο μήκος.png
Ελεγχόμενο μήκος.png (23.74 KiB) Προβλήθηκε 153 φορές
Θεωρώ ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο ASC , το κύκλο του \left( {A,S,C} \right) και την εξωτερική διχοτόμο

του τριγώνου στο S που τέμνει τον κύκλο στο M.

Η CM τέμνει την προέκταση της AS στο B.

Επειδή στο τρίγωνο SBC η SM είναι ταυτόχρονα διχοτόμος και ύψος , αυτό θα είναι ισοσκελές και το \vartriangle ABC αυτό που θέλω.

Εύκολα μετά έχω : \boxed{\frac{{AB}}{{AC}} = \tan C = \tan 67,5^\circ  = 1 + \sqrt 2 }


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελεγχόμενο μήκος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μάιος 27, 2021 8:59 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Μάιος 26, 2021 8:34 pm
Ελεγχόμενο μήκος.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , με AB > AC , θεωρούμε σημείο S της AB , ώστε :

AS=AC και φέρουμε : SM \perp BC . α) Δείξτε ότι η MA , διχοτομεί την \widehat{CMS} .

β) Υπολογίστε τον λόγο \dfrac{AB}{AC} , ώστε το σημείο M να είναι το μέσο της υποτείνουσας BC .
α) Προκύπτει άμεσα από το εγγράψιμο ASMC.
Ελεγχόμενο μήκος.png
Ελεγχόμενο μήκος.png (14.32 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές
β) \displaystyle BS \cdot BA = BM \cdot BC \Leftrightarrow c(c - b) = \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} \Leftrightarrow {c^2} - 2bc - {b^2} = 0 \Leftrightarrow \boxed{\frac{c}{b} = 1 + \sqrt 2 }


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ελεγχόμενο μήκος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μάιος 27, 2021 10:41 am

b)
ελεγχόμενο μήκοσ_new.png
ελεγχόμενο μήκοσ_new.png (15.27 KiB) Προβλήθηκε 94 φορές
Επειδή SB = SC = c\sqrt 2 έχω:

\boxed{\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{c + c\sqrt 2 }}{c} = 1 + \sqrt 2 }


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης