Πραποφασισμένος κύκλος

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Πραποφασισμένος κύκλος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μάιος 17, 2021 9:17 pm

Προαποφασισμένος  κύκλος.png
Προαποφασισμένος κύκλος.png (27.63 KiB) Προβλήθηκε 170 φορές
Το ημικύκλιο έχει ακτίνα 4 , το τμήμα ST έχει μήκος 3 και CS , QPT είναι κάθετα στην AB .

Βρείτε εκείνη την θέση του S , για την οποία η ακτίνα του κύκλου : (Q , P , B ) , έχει μήκος 5 .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Πραποφασισμένος κύκλος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Μάιος 18, 2021 3:39 am

Έστω E το σημείο τομής της προέκτασης της AB με τον κύκλο. Θέτω: AS = x,\,\,TB = y\,\,,\,\,SC = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BE = u. Ενώ θεωρώ M το μέσο του BE.

Επειδή : \widehat {{A_{}}} = \widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{E_{}}} το τρίγωνο QAE είναι ισοσκελές με κορυφή το Q.

Αβίαστα προκύπτουν : y = 5 - x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{k^2} = x\left( {8 - x} \right) .
Προαποφασισμένο; κύκλος.png
Προαποφασισμένο; κύκλος.png (29.45 KiB) Προβλήθηκε 138 φορές
Αφού AT = TE θα έχω: x + 3 = y + u \Rightarrow x + 3 = 5 - x + u \Rightarrow u = 2\left( {x - 1} \right).

Με δεδομένο ότι γνωρίζω την ακτίνα του κύκλου και είναι R = 5

και αφού πάντα : \boxed{TM = y + x - 1 = 5 - x + x - 1 = 4}

για x = 4, θα είναι ισοσκελή ορθογώνια τα τρίγωνα , CAB\,\,,\,\,TQA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TEQ

y = 1\,\,,\dfrac{u}{2} = ME = MB = 3\,\,,\,\,LM = k = 4 και προφανώς το S είναι το κέντρο του ημικυκλίου.

Εν γένει η ακτίνα του κύκλου \left( {L,R} \right) είναι για κάθε 0 < x < 5 , \boxed{{R^2} = 16\frac{{9 + 8x - {x^2}}}{{x\left( {8 - x} \right)}}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πραποφασισμένος κύκλος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μάιος 18, 2021 9:53 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Μάιος 17, 2021 9:17 pm
Προαποφασισμένος κύκλος.pngΤο ημικύκλιο έχει ακτίνα 4 , το τμήμα ST έχει μήκος 3 και CS , QPT είναι κάθετα στην AB .

Βρείτε εκείνη την θέση του S , για την οποία η ακτίνα του κύκλου : (Q , P , B ) , έχει μήκος 5 .
Έστω R=5 η ακτίνα του κύκλου και AC=b, CB=a, AS=x, C\widehat BQ=\theta.
Πραπ. κύκλος.png
Πραπ. κύκλος.png (19.97 KiB) Προβλήθηκε 112 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
{a^2} + {b^2} = 64\\ 
{b^2} = 8x 
\end{array} \right. \Rightarrow \boxed{a^2=8(8-x)}

Το A είναι ορθόκεντρο του PBQ, άρα \displaystyle AB = 2R\cos \theta  \Leftrightarrow 8 = 10\cos \theta  \Leftrightarrow \cos \theta  = \frac{4}{5} και \boxed{CQ=\frac{3a}{4}}

\displaystyle CS||QT \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{b}{{CQ}} \Leftrightarrow x = \frac{{4b}}{a} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{16 \cdot 8x}}{{8(8 - x)}} \Leftrightarrow \boxed{x=4} άρα το S είναι το κέντρο του ημικυκλίου.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης