S 552 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1047
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

S 552 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Κυρ Μάιος 16, 2021 7:37 am

Σας προτείνω το θέμα S-552 από το δεύτερο τεύχος των Mathematical Reflections του 2021. H ημερομηνία υποβολής λύσεων ήταν η 15-5-2021, η οποία παρήλθε, έτσι μπορώ να το μοιραστώ μαζί σας. Το θέμα πρότεινε ο Titu Andreescu από το Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Ντάλλας.


Βρείτε όλα τα τρίγωνα ABC με AB=8 για τα οποία υπάρχει εσωτερικό σημείο P τέτοιο ώστε PB=5 και τα μήκη των τμημάτων PC,AC,BC να σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο με διαφορά 2 και B\hat{P}C=2B\hat{A}C.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7984
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: S 552 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μάιος 16, 2021 9:48 am

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Κυρ Μάιος 16, 2021 7:37 am
Σας προτείνω το θέμα S-552 από το δεύτερο τεύχος των Mathematical Reflections του 2021. H ημερομηνία υποβολής λύσεων ήταν η 15-5-2021, η οποία παρήλθε, έτσι μπορώ να το μοιραστώ μαζί σας. Το θέμα πρότεινε ο Titu Andreescu από το Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Ντάλλας.


Βρείτε όλα τα τρίγωνα ABC με AB=8 για τα οποία υπάρχει εσωτερικό σημείο P τέτοιο ώστε PB=5 και τα μήκη των τμημάτων PC,AC,BC να σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο με διαφορά 2 και B\hat{P}C=2B\hat{A}C.
Αν θέσω AC = x τότε BC = x + 2\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PC = x - 2 . Θέτω ακόμα \widehat {{A_{}}} = \theta και άρα \widehat {BPC} = 2\theta .

Ισχύουν από Θ συνημίτονου στα \vartriangle ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle PBC :
Kefalonitis_1.png
Kefalonitis_1.png (16.63 KiB) Προβλήθηκε 207 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  a = \cos \theta  = \frac{{15 - x}}{{4x}} \hfill \\ 
  b = \cos 2\theta  = \frac{{15 - 8x}}{{10\left( {x - 2} \right)}} \hfill \\ 
  b = 2{a^2} - 1 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x = 5 \hfill \\ 
  x = \frac{{5\left( {\sqrt {193}  - 13} \right)}}{2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

η άλλη τιμή δεν είναι δεκτή λόγω τριγωνικής ανισότητας στο τρίγωνο : ABC.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10570
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: S 552 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μάιος 16, 2021 10:51 am

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Κυρ Μάιος 16, 2021 7:37 am
Σας προτείνω το θέμα S-552 από το δεύτερο τεύχος των Mathematical Reflections του 2021. H ημερομηνία υποβολής λύσεων ήταν η 15-5-2021, η οποία παρήλθε, έτσι μπορώ να το μοιραστώ μαζί σας. Το θέμα πρότεινε ο Titu Andreescu από το Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Ντάλλας.


Βρείτε όλα τα τρίγωνα ABC με AB=8 για τα οποία υπάρχει εσωτερικό σημείο P τέτοιο ώστε PB=5 και τα μήκη των τμημάτων PC,AC,BC να σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο με διαφορά 2 και B\hat{P}C=2B\hat{A}C.
Είναι το τρίγωνο αυτής της άσκησης

Διατηρώ όμως κάποιες αμφιβολίες ως προς την ερμηνεία της φράσης "τα μήκη των τμημάτων PC,AC,BC σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο με διαφορά 2"

Στην Ελλάδα συνήθως το διευκρινίζουμε π.χ, "οι a, b,c είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου" ή "οι a, b,c σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο όχι υποχρεωτικά με αυτή τη σειρά".


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1047
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: S 552 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Κυρ Μάιος 16, 2021 11:11 am

Γιώργο καλημέρα από την Κεφαλονιά. Όπως έχεις καταλάβει έκανα μετάφραση του θέματος από τα Αγγλικά. Κι εμένα μου έκανε εντύπωση ότι δεν τονίζεται η διαδοχικότητα των όρων της προόδου. Όμως στην αγγλική ορολογία αρκετές φορές υπονοείται κάτι τέτοιο, το έχω δει και σε άλλες διατυπώσεις θεμάτων. Ας το δούμε έτσι λοιπόν...


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7984
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: S 552 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μάιος 16, 2021 11:49 am

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Κυρ Μάιος 16, 2021 11:11 am
Γιώργο καλημέρα από την Κεφαλονιά. Όπως έχεις καταλάβει έκανα μετάφραση του θέματος από τα Αγγλικά. Κι εμένα μου έκανε εντύπωση ότι δεν τονίζεται η διαδοχικότητα των όρων της προόδου. Όμως στην αγγλική ορολογία αρκετές φορές υπονοείται κάτι τέτοιο, το έχω δει και σε άλλες διατυπώσεις θεμάτων. Ας το δούμε έτσι λοιπόν...
Kefalonitis_5.png
Kefalonitis_5.png (17.65 KiB) Προβλήθηκε 160 φορές
Μερικές άλλες περιπτώσεις που έκανα μου προέκυψε άτοπο. Για παράδειγμα :

BC = x - 2\,,\,\,PC = x\,\,,\,\,AC = x + 2

Με λογισμικό προκύπτει , x \simeq 4,398177843 αλλά το σημείο P δεν είναι εσωτερικό στο \vartriangle ABC .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης