Η βάση

KARKAR · #1

: Η βάση.png (14.41 KiB) Προβλήθηκε 633 φορές

Σίγουρα θα βρείτε μερικούς τρόπους να υπολογίσετε το μήκος της βάσης

,

του εγγεγραμμένου στον κύκλο (O , 4)

, τραπεζίου ABCD

του σχήματος .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 14, 2021 9:28 pm
Η βάση.pngΣίγουρα θα βρείτε μερικούς τρόπους να υπολογίσετε το μήκος της βάσης ,

του εγγεγραμμένου στον κύκλο , τραπεζίου του σχήματος .

Ας είναι

το αντιδιαμετρικό του

και

το σημείο τομής των $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OE$ .

: η βάση.png (20.96 KiB) Προβλήθηκε 615 φορές

Αβίαστα προκύπτει ότι το τετράπλευρο DTEC

είναι χαρταετός με σημείο τομής των διαγωνίων του το

, ενώ το τετράπλευρο ABTD

είναι ρόμβος πλευρά

Από το Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle ATD$ κι αφού προφανώς $\boxed{\cos \theta = \frac{5}{8}}$ προκύπτει : $\boxed{AT = \dfrac{{25}}{4}}$ . Θέτω TM = y

οπότε , $BC = x = 5 + 2y\,\,\left( 1 \right)$ . Αλλά $AT \cdot TE = BT \cdot TC \Rightarrow \dfrac{{25}}{4}\left( {8 - \dfrac{{25}}{4}} \right) = 10y$ και λόγω της $\left( 1 \right)$ , $\boxed{x = \frac{{115}}{{16}}}$

Η λύση αυτή δεν με ικανοποιεί . Πάντως το ακριβές σχήμα έγινε χωρίς υπολογισμούς.

#3

Φέρνω στο

εφαπτομένη του κύκλου και τέμνει την

στο

.

Επειδή η

είναι εφαπτομένη στο μέσο του τόξου χορδής

θα είναι

και άρα το τετράπλευρο ASBD

είναι παραλληλόγραμμο , οπότε $\boxed{BS = 5}$ .

Το απόστημα

στη χορδή

είναι κάθετο σ αυτή στο μέσο της

. Θέτω

.

Επειδή $AB \cdot AD = 2rk \Rightarrow 25 = 8k \Rightarrow \boxed{k = \frac{{25}}{8}}$ . Από το Π. Θ. στο $\vartriangle MAB$ έχω:

: Η βάση αλλιώς_3.png (19.93 KiB) Προβλήθηκε 600 φορές

$B{M^2} = 25 - \dfrac{{{{25}^2}}}{{64}} = \dfrac{{25 \cdot 49}}{{64}} \Rightarrow B{D^2} = \dfrac{{25 \cdot 49}}{{16}}$ . Αλλά BD = SA

και αφού

$S{A^2} = SB \cdot SC \Rightarrow \dfrac{{25 \cdot 49}}{{16}} = 5\left( {5 + BC} \right) \Rightarrow \boxed{BC = \frac{{115}}{{16}}}$ .

Ιστοσελίδα · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 14, 2021 9:28 pm
Σίγουρα θα βρείτε μερικούς τρόπους να υπολογίσετε το μήκος της βάσης ,

του εγγεγραμμένου στον κύκλο , τραπεζίου του σχήματος .

: 2021-05-15_6-24-51.jpg (44.98 KiB) Προβλήθηκε 594 φορές

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 14, 2021 9:28 pm
Η βάση.pngΣίγουρα θα βρείτε μερικούς τρόπους να υπολογίσετε το μήκος της βάσης ,

του εγγεγραμμένου στον κύκλο , τραπεζίου του σχήματος .

Με νόμο συνημιτόνου βρίσκω $\displaystyle \cos \theta = \frac{7}{{32}}.$ Αλλά $\cos \omega = \cos 3\theta = 4{\cos ^3}\theta - 3\cos \theta .$

: Η βάση.Κ.png (15.53 KiB) Προβλήθηκε 569 φορές

Με ν. συνημιτόνου τώρα στο OBC,

είναι $\displaystyle {x^2} = 32 - 32\left( {4\frac{{{7^3}}}{{{{32}^3}}} - \frac{{21}}{{32}}} \right) = 53 - \frac{{343}}{{256}} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=\frac{115}{16}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 14, 2021 9:28 pm
Η βάση.pngΣίγουρα θα βρείτε μερικούς τρόπους να υπολογίσετε το μήκος της βάσης ,

του εγγεγραμμένου στον κύκλο , τραπεζίου του σχήματος .

Το Π.Θ στο $\triangle ABE$ δίνει BE^2=39

και με Stewart στο

$\triangle ABE$ παίρνουμε 39x+25y-8xy=200

με

Εύκολα , $x= \dfrac{25}{4} ,y= \dfrac{7}{4}$ κι από $xy=5\omega \Rightarrow \omega = \dfrac{35}{16} \Rightarrow BC= \dfrac{115}{16}$

: η βάση.png (17.71 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές

kkala · #7

Αναφερόμενοι στο σχήμα του #5 (george visvikis), τα τρίγωνα ΟΑΒ, OAD, ODC είναι ίσα και ισοσκελή, οπότε $sin(\theta /2)=5/2/4=0.625$ και άρα $\theta /2=38.68219$ deg, $\omega=360-6\theta /2=127.90686$ deg. Από το ισοσκελές τρίγωνο OBC, $x=2\cdot 4sin(\omega/2)=7.1875$ . Τούτο θα μπορούσε να είναι λίγο διαφορετικό από το 115/16

λόγω των προσεγγίσεων στους τριγωνομετρικούς αριθμούς, κατά σύμπτωση όμως δεν είναι.
Το παραπάνω αποτελεί παραλλαγή του #5, αλλά υπολογίζει γωνίες από ημίτονο (με όση προσέγγιση θέλουμε) και εκτελεί πράξεις σε αυτές τις γωνίες. Κατάλαβα ότι αυτό δε συνηθίζεται στο mathematica.
Στη γενική περίπτωση όπου τα OA, OB, OD, OC δεν είναι ίσα (αλλά δίδονται τα μέτρα τους) και ομοίως τα ΒΑ, AD, DC, το x μπορεί να προσδιορισθεί με τριγωνομετρική επίλυση των τριγώνων OAB, ODA, OCD και στη συνέχεια επίλυση του τριγώνου OBC.

Η βάση

Η βάση

Re: Η βάση

Re: Η βάση

Re: Η βάση

Re: Η βάση

Re: Η βάση

Re: Η βάση

Μέλη σε σύνδεση