Η βάση

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Η βάση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μάιος 14, 2021 9:28 pm

Η  βάση.png
Η βάση.png (14.41 KiB) Προβλήθηκε 300 φορές
Σίγουρα θα βρείτε μερικούς τρόπους να υπολογίσετε το μήκος της βάσης BC ,

του εγγεγραμμένου στον κύκλο (O , 4) , τραπεζίου ABCD του σχήματος .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8044
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η βάση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Μάιος 14, 2021 11:22 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Μάιος 14, 2021 9:28 pm
Η βάση.pngΣίγουρα θα βρείτε μερικούς τρόπους να υπολογίσετε το μήκος της βάσης BC ,

του εγγεγραμμένου στον κύκλο (O , 4) , τραπεζίου ABCD του σχήματος .
Ας είναι E το αντιδιαμετρικό του A και T το σημείο τομής των BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OE.
η βάση.png
η βάση.png (20.96 KiB) Προβλήθηκε 282 φορές
Αβίαστα προκύπτει ότι το τετράπλευρο DTEC είναι χαρταετός με σημείο τομής των διαγωνίων του το M, ενώ το τετράπλευρο ABTD είναι ρόμβος πλευρά 5

Από το Θ. συνημίτονου στο \vartriangle ATD κι αφού προφανώς \boxed{\cos \theta  = \frac{5}{8}} προκύπτει : \boxed{AT = \dfrac{{25}}{4}} . Θέτω TM = y οπότε , BC = x = 5 + 2y\,\,\left( 1 \right). Αλλά AT \cdot TE = BT \cdot TC \Rightarrow \dfrac{{25}}{4}\left( {8 - \dfrac{{25}}{4}} \right) = 10y και λόγω της \left( 1 \right) , \boxed{x = \frac{{115}}{{16}}}

Η λύση αυτή δεν με ικανοποιεί . Πάντως το ακριβές σχήμα έγινε χωρίς υπολογισμούς.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8044
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η βάση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μάιος 15, 2021 2:06 am

Φέρνω στο A εφαπτομένη του κύκλου και τέμνει την CBστο S .

Επειδή η AS είναι εφαπτομένη στο μέσο του τόξου χορδής BD θα είναι AS//BD και άρα το τετράπλευρο ASBD είναι παραλληλόγραμμο , οπότε \boxed{BS = 5}.

Το απόστημα OM στη χορδή BD είναι κάθετο σ αυτή στο μέσο της M. Θέτω AM = k.

Επειδή AB \cdot AD = 2rk \Rightarrow 25 = 8k \Rightarrow \boxed{k = \frac{{25}}{8}}. Από το Π. Θ. στο \vartriangle MAB έχω:
Η βάση αλλιώς_3.png
Η βάση αλλιώς_3.png (19.93 KiB) Προβλήθηκε 267 φορές
B{M^2} = 25 - \dfrac{{{{25}^2}}}{{64}} = \dfrac{{25 \cdot 49}}{{64}} \Rightarrow B{D^2} = \dfrac{{25 \cdot 49}}{{16}}. Αλλά BD = SA και αφού

S{A^2} = SB \cdot SC \Rightarrow \dfrac{{25 \cdot 49}}{{16}} = 5\left( {5 + BC} \right) \Rightarrow \boxed{BC = \frac{{115}}{{16}}}.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3332
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Η βάση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Σάβ Μάιος 15, 2021 6:25 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Μάιος 14, 2021 9:28 pm
Σίγουρα θα βρείτε μερικούς τρόπους να υπολογίσετε το μήκος της βάσης BC ,

του εγγεγραμμένου στον κύκλο (O , 4) , τραπεζίου ABCD του σχήματος .
2021-05-15_6-24-51.jpg
2021-05-15_6-24-51.jpg (44.98 KiB) Προβλήθηκε 261 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Η βάση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μάιος 15, 2021 12:09 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Μάιος 14, 2021 9:28 pm
Η βάση.pngΣίγουρα θα βρείτε μερικούς τρόπους να υπολογίσετε το μήκος της βάσης BC ,

του εγγεγραμμένου στον κύκλο (O , 4) , τραπεζίου ABCD του σχήματος .
Με νόμο συνημιτόνου βρίσκω \displaystyle \cos \theta  = \frac{7}{{32}}. Αλλά \cos \omega  = \cos 3\theta  = 4{\cos ^3}\theta  - 3\cos \theta .
Η βάση.Κ.png
Η βάση.Κ.png (15.53 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές
Με ν. συνημιτόνου τώρα στο OBC, είναι \displaystyle {x^2} = 32 - 32\left( {4\frac{{{7^3}}}{{{{32}^3}}} - \frac{{21}}{{32}}} \right) = 53 - \frac{{343}}{{256}} \Leftrightarrow \boxed{x=\frac{115}{16}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2083
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Η βάση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Μάιος 15, 2021 3:22 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Μάιος 14, 2021 9:28 pm
Η βάση.pngΣίγουρα θα βρείτε μερικούς τρόπους να υπολογίσετε το μήκος της βάσης BC ,

του εγγεγραμμένου στον κύκλο (O , 4) , τραπεζίου ABCD του σχήματος .


Το Π.Θ στο  \triangle ABE δίνει BE^2=39 και με Stewart στο

\triangle ABE παίρνουμε 39x+25y-8xy=200 με x+y=8

Εύκολα , x= \dfrac{25}{4} ,y= \dfrac{7}{4} κι από xy=5\omega \Rightarrow  \omega = \dfrac{35}{16} \Rightarrow BC= \dfrac{115}{16}
η βάση.png
η βάση.png (17.71 KiB) Προβλήθηκε 212 φορές


kkala
Δημοσιεύσεις: 170
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 30, 2014 6:12 pm

Re: Η βάση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kkala » Τετ Μάιος 19, 2021 12:02 am

Αναφερόμενοι στο σχήμα του #5 (george visvikis), τα τρίγωνα ΟΑΒ, OAD, ODC είναι ίσα και ισοσκελή, οπότε sin(\theta /2)=5/2/4=0.625 και άρα \theta /2=38.68219 deg, \omega=360-6\theta /2=127.90686 deg. Από το ισοσκελές τρίγωνο OBC, x=2\cdot 4sin(\omega/2)=7.1875. Τούτο θα μπορούσε να είναι λίγο διαφορετικό από το 115/16 λόγω των προσεγγίσεων στους τριγωνομετρικούς αριθμούς, κατά σύμπτωση όμως δεν είναι.
Το παραπάνω αποτελεί παραλλαγή του #5, αλλά υπολογίζει γωνίες από ημίτονο (με όση προσέγγιση θέλουμε) και εκτελεί πράξεις σε αυτές τις γωνίες. Κατάλαβα ότι αυτό δε συνηθίζεται στο mathematica.
Στη γενική περίπτωση όπου τα OA, OB, OD, OC δεν είναι ίσα (αλλά δίδονται τα μέτρα τους) και ομοίως τα ΒΑ, AD, DC, το x μπορεί να προσδιορισθεί με τριγωνομετρική επίλυση των τριγώνων OAB, ODA, OCD και στη συνέχεια επίλυση του τριγώνου OBC.


Κώστας Καλαϊτζόγλου
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης