Αφελή ερωτήματα σε ορθογώνιο τραπέζιο

KARKAR · #1

: Αφελή ερωτήματα σε τραπέζιο.png (6.76 KiB) Προβλήθηκε 418 φορές

Στο ορθογώνιο τραπέζιο με τα δεδομένα του σχήματος :

α) Είναι τα τετράπλευρα ADSM , SMCD

όμοια ;

β) Για ποια τιμή του λόγου $\dfrac{b}{a}$ , το

είναι το μέσο της

;

γ) ( Προαιρετικό ) Υπάρχει περίπτωση να είναι : $\tan D=\cos D$ ;

#2

Κατασκευή

Έστω ημικύκλιο διαμέτρου $\overline {ADE} = 2a$ και σημείο του

. Η κάθετη στο

επί την

τέμνει στο

, την εις το

εφαπτομένη του ημικυκλίου .

Θα είναι επομένως MS = MA

. Ας είναι τώρα

το συμμετρικό του

ως προς το

Φέρνω από το

παράλληλη στην

και τέμνει την ευθεία

στο

.

Τώρα το τρίγωνο SBA

είναι ορθογώνιο στο

γιατί η διάμεσός του

ισούται με το μισό της

.

Τα ορθογώνια τρίγωνα $BMC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SMC$ έχουν κοινή υποτείνουσα και MB = MS

οπότε είναι ίσα και άρα θα έχουν : CB = CS

: αφελή ερωτήματα_a.png (12.4 KiB) Προβλήθηκε 390 φορές

Το τραπέζιο έχει τις προδιαγραφές του της υπόθεσης κι έχει το

μέσο του ύψους ανεξαρτήτως του λόγου $\dfrac{b}{a}$ με BC = CS = b

.

Τα εγράψιμα τετράπλευρα $MADS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CBMS$ είναι όμοια αφού αποτελοούνται από όμοια τρίγωνα ομόρροπα τοποθετημένα.

Τέλος όταν $\cos D = \sqrt {\varphi - 1}$ είναι και $\tan D = \sqrt {\varphi - 1}$ .

Θα κάνω ξεχωριστή απόδειξη γι’ αυτό .

: αφελή ερωτήματα_extra_κατασκευή.png (10.37 KiB) Προβλήθηκε 385 φορές

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο FDG

με υποτείνουσα DG = 1

και κάθετη πλευρά $PD = k = \sqrt {\varphi - 1} \,\,,\boxed{\varphi = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}$ .

Ας είναι $FG = x \Rightarrow {x^2} = 1 - \left( {\varphi - 1} \right) = 2 - \varphi$ και άρα :

$\left\{ \begin{gathered} \cos \theta = \frac{{FD}}{{DG}} = \frac{{\sqrt {\phi - 1} }}{1} = \sqrt {\varphi - 1} \hfill \\ \tan \theta = \frac{{FG}}{{FD}} = \frac{{\sqrt {2 - \varphi } }}{{\sqrt {\varphi - 1} }} = \sqrt {\varphi - 1} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ κι αυτό γιατί ισοδύναμα έχω:

$2 - \varphi = {\left( {\varphi - 1} \right)^2} \Leftrightarrow 2 - \varphi = {\varphi ^2} - 2\varphi + 1 \Leftrightarrow {\varphi ^2} - \varphi - 1 = 0$ , αληθές

#3

Για την κατασκευή.

Ανάλυση: Τα τετράπλευρα ADSM, SMBC

είναι εγγράψιμοι χαρταετοί, άρα οι MC, MD

διχοτομούν

τις γωνίες $B\widehat MS, A\widehat MS$ αντίστοιχα, οπότε $CM\bot MD$ και BM=MS= AM.

: Ερωτ. σε ορθογώνιο τραπ..png (10.97 KiB) Προβλήθηκε 350 φορές

Κατασκευή: Κατασκευάζω τρίγωνο ADS

με

και μεταβλητή γωνία $\widehat D.$ Από το

φέρνω κάθετη

στην

που τέμνει τη μεσοκάθετη του

στο

Αν

είναι το συμμετρικό του

ως προς

και η κάθετη από

το

στην

τέμνει την

στο

τότε το τραπέζιο ABCD

ικανοποιεί τα δεδομένα του προβλήματος.

Στην άσκησή μας τώρα.

α) Τα τετράπλευρα είναι προφανώς ισογώνια. Αρκεί να δείξω ότι έχουν και ανάλογες πλευρές. Πράγματι,

επειδή $\displaystyle M{S^2} = ab$ και BM=MS= AM,

προκύπτει ότι $\displaystyle \frac{{MB}}{a} = \frac{{MS}}{a} = \frac{b}{{MS}} = \frac{b}{{MA}}.$

β) Το

είναι έτσι κι αλλιώς μέσο του

και αφού εκ κατασκευής η τιμή της γωνίας $\widehat D$ αλλάζει, τότε ο λόγος $\dfrac{b}{a}$ μπορεί να πάρει άπειρες τιμές.

γ) $\displaystyle \tan D = \cos D \Leftrightarrow {\sin ^2}D + \sin D - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin D = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2},$ οπότε το τρίγωνο ADS

είναι συγκεκριμένο.

Αφελή ερωτήματα σε ορθογώνιο τραπέζιο

Αφελή ερωτήματα σε ορθογώνιο τραπέζιο

Re: Αφελή ερωτήματα σε ορθογώνιο τραπέζιο

Re: Αφελή ερωτήματα σε ορθογώνιο τραπέζιο

Μέλη σε σύνδεση