Σταθερό γινόμενο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2093
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Σταθερό γινόμενο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Μάιος 08, 2021 7:50 am

Δίνεται κύκλος (Ο) και οι χορδές AB,CD κάθετοι μεταξύ τους και τέμνονται στο σημείο E.
Από το E φέρουμε την EK κάθετο στην DB που τέμνει τη AC στο σημείο I
Να αποδειχθεί ότι EK.EI παραμένει σταθερό ,όταν μεταβάλλονται οι χορδές και το E παραμένει σταθερό

Πηγή : Σημειώσεις Γεωμετρίας Ποθητός Σταυρόπουλος
Συνημμένα
Σταθερό γινόμενο.png
Σταθερό γινόμενο.png (85.07 KiB) Προβλήθηκε 134 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10573
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σταθερό γινόμενο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μάιος 08, 2021 9:24 am

STOPJOHN έγραψε:
Σάβ Μάιος 08, 2021 7:50 am
Δίνεται κύκλος (Ο) και οι χορδές AB,CD κάθετοι μεταξύ τους και τέμνονται στο σημείο E.
Από το E φέρουμε την EK κάθετο στην DB που τέμνει τη AC στο σημείο I
Να αποδειχθεί ότι EK.EI παραμένει σταθερό ,όταν μεταβάλλονται οι χορδές και το E παραμένει σταθερό

Πηγή : Σημειώσεις Γεωμετρίας Ποθητός Σταυρόπουλος
Έστω R η ακτίνα του κύκλου και EO=d. Από θεώρημα είναι γνωστό ότι I είναι το μέσο του AC (*).
Σταθερό γινόμενο.png
Σταθερό γινόμενο.png (16.48 KiB) Προβλήθηκε 125 φορές
\displaystyle EI = CI = IA \Leftrightarrow E{I^2} = CI \cdot IA = {R^2} - O{I^2} \Leftrightarrow \boxed{O{I^2} = {R^2} - E{I^2}} (1)

\displaystyle E{K^2} = BK \cdot KD = {R^2} - O{K^2} \Leftrightarrow \boxed{O{K^2} = {R^2} - E{K^2}} (2) και από \rm Stewart στο OKI:

\displaystyle O{K^2} \cdot EI + O{I^2} \cdot EK = {d^2} \cdot IK + IK \cdot EI \cdot EK\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1),(2)}

\displaystyle {R^2}(EI + EK) - EK \cdot EI(EK + EI) = IK({d^2} + EK \cdot EI) \Leftrightarrow \boxed{ EK \cdot EI = \frac{{{R^2} - {d^2}}}{2}}


(*) Αν μου ζητηθεί η απόδειξη, θα την δώσω.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2093
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Σταθερό γινόμενο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Μάιος 11, 2021 7:39 pm

Ευχαριστώ το Γιώργο για τη λύση του .Και η δική μου λύση :

Είναι

\hat{CDB}=\omega =\hat{CAB}=\hat{BEK}=\hat{IEA}\Rightarrow IE=IA,\hat{EBK}=\hat{ACE}=

\hat{IEC}=90-\omega \Rightarrow IE=IC

IE=IA=IC Ομοίως

EL\perp CA

,EM=MD=MB

Τα τρίγωνα

EMK,ELI είναι όμοια ,γιατί είναι ορθογώνια και \hat{EMK}=\hat{LIE}=2\omega 

\Rightarrow \dfrac{EK}{EL}=\dfrac{EM}{EI}\Leftrightarrow EK.EI=EM.EL,(*)


Από τις τεμνόμενες χορδές AB,CD,CE.ED=EA.EB=R^{2}-d^{2},d=OE,(1)

Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα

ELC,EBD\Rightarrow \dfrac{EL}{ED}=\dfrac{EC}{BD}\Rightarrow

 EL=\dfrac{CE}{BD}.ED,(2),

 (*),(1),(2)\Rightarrow EK.EI=\dfrac{CE.ED}{2}=\dfrac{R^{2}-d^{2}}{2}
Συνημμένα
Σταθερό γινόμενο.png
Σταθερό γινόμενο.png (85.07 KiB) Προβλήθηκε 85 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες