Σταθερό γινόμενο

STOPJOHN · #1

Δίνεται κύκλος (Ο) και οι χορδές AB,CD

κάθετοι μεταξύ τους και τέμνονται στο σημείο

.
Από το

φέρουμε την

κάθετο στην

που τέμνει τη

στο σημείο

Να αποδειχθεί ότι EK.EI

παραμένει σταθερό ,όταν μεταβάλλονται οι χορδές και το

παραμένει σταθερό

Πηγή : Σημειώσεις Γεωμετρίας Ποθητός Σταυρόπουλος

#2

STOPJOHN έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 08, 2021 7:50 am
Δίνεται κύκλος (Ο) και οι χορδές κάθετοι μεταξύ τους και τέμνονται στο σημείο .
Από το φέρουμε την κάθετο στην που τέμνει τη στο σημείο
Να αποδειχθεί ότι παραμένει σταθερό ,όταν μεταβάλλονται οι χορδές και το παραμένει σταθερό

Πηγή : Σημειώσεις Γεωμετρίας Ποθητός Σταυρόπουλος

Έστω

η ακτίνα του κύκλου και EO=d.

Από θεώρημα είναι γνωστό ότι

είναι το μέσο του

.

: Σταθερό γινόμενο.png (16.48 KiB) Προβλήθηκε 258 φορές

$\displaystyle EI = CI = IA \Leftrightarrow E{I^2} = CI \cdot IA = {R^2} - O{I^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{O{I^2} = {R^2} - E{I^2}}$ (1)

$\displaystyle E{K^2} = BK \cdot KD = {R^2} - O{K^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{O{K^2} = {R^2} - E{K^2}}$ (2)

και από $\rm Stewart$ στο OKI:

$\displaystyle O{K^2} \cdot EI + O{I^2} \cdot EK = {d^2} \cdot IK + IK \cdot EI \cdot EK\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1),(2)}$

$\displaystyle {R^2}(EI + EK) - EK \cdot EI(EK + EI) = IK({d^2} + EK \cdot EI) \Leftrightarrow$ $\boxed{ EK \cdot EI = \frac{{{R^2} - {d^2}}}{2}}$

(*)

Αν μου ζητηθεί η απόδειξη, θα την δώσω.

STOPJOHN · #3

Ευχαριστώ το Γιώργο για τη λύση του .Και η δική μου λύση :

Είναι

$\hat{CDB}=\omega =\hat{CAB}=\hat{BEK}=\hat{IEA}\Rightarrow IE=IA,\hat{EBK}=\hat{ACE}= \hat{IEC}=90-\omega \Rightarrow IE=IC$

IE=IA=IC

Ομοίως

$EL\perp CA ,EM=MD=MB$

Τα τρίγωνα

EMK,ELI

είναι όμοια ,γιατί είναι ορθογώνια και $\hat{EMK}=\hat{LIE}=2\omega \Rightarrow \dfrac{EK}{EL}=\dfrac{EM}{EI}\Leftrightarrow EK.EI=EM.EL,(*)$

Από τις τεμνόμενες χορδές $AB,CD,CE.ED=EA.EB=R^{2}-d^{2},d=OE,(1)$

Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα

$ELC,EBD\Rightarrow \dfrac{EL}{ED}=\dfrac{EC}{BD}\Rightarrow EL=\dfrac{CE}{BD}.ED,(2), (*),(1),(2)\Rightarrow EK.EI=\dfrac{CE.ED}{2}=\dfrac{R^{2}-d^{2}}{2}$

Σταθερό γινόμενο

Σταθερό γινόμενο

Re: Σταθερό γινόμενο

Re: Σταθερό γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση