Εμβαδόν τριγώνου σε τετράγωνο

Ιστοσελίδα · #1

: shape.png (13.07 KiB) Προβλήθηκε 500 φορές

Στο παραπάνω σχήμα δίνονται: DK = 2BE = 8

, $\angle BED = 2\angle EDK = {90^ \circ }$

Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου CDK

καθώς και την πλευρά του τετραγώνου ABCD

STOPJOHN · #2

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 05, 2021 6:10 am
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα δίνονται: , $\angle BED = 2\angle EDK = {90^ \circ }$

Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου καθώς και την πλευρά του τετραγώνου

Ειναι $\hat{DAB}=90^{0}=\hat{DEB}$ αρα το τετράλπευρο DAEB

είναι εγγράψιμο σε κύκλο

Οπότε

$\hat{ADE}=\hat{ABE}=\hat{\omega },\hat{CDK}=45-\omega=\hat{KDC} ,\hat{DKC}=45+\omega= \hat{DBE}$

Αρα τα τρίγωνα DCK,DEB

είναι όμοια $\dfrac{a}{DE}=\dfrac{CK}{4}=\dfrac{8}{DB}\Rightarrow a\sqrt{2}\sqrt{64-a^{2}}=32,(*)$

Θέτω

$a^{2}=x,(*)\Rightarrow x^{2}-64x+2.16^{2}=0,\Delta =32^{2}.2,a=4\sqrt{2+\sqrt{2}}, CK^{2}=64-16(2+\sqrt{2})\Leftrightarrow CK=4\sqrt{2-\sqrt{2}}, (DCK)=8\sqrt{2}$

#3

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 05, 2021 6:10 am
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα δίνονται: , $\angle BED = 2\angle EDK = {90^ \circ }$

Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου καθώς και την πλευρά του τετραγώνου

: Εμβαδόν τριγ. σε τετράγωνο.png (9.26 KiB) Προβλήθηκε 487 φορές

$\displaystyle a = 4\sqrt {2 + \sqrt 2 } ,(CDK) = 8\sqrt 2$

Βλέπω ότι έχω ίδια λύση με τον Γιάννη. Το αφήνω για τον κόπο του σχήματος. Αν βρω κάτι άλλο, θα επανέλθω.

#4

Αλλιώς.

: Εμβαδόν τριγ. σε τετράγωνο.ΙΙ.png (9.81 KiB) Προβλήθηκε 482 φορές

$\displaystyle A\widehat DB = B\widehat DC = E\widehat DB = 45^\circ,$ άρα οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες, όπως και πράσινες, που σημαίνει

ότι είναι και μεταξύ τους ίσες με $22,5^\circ$ η καθεμία. Οπότε, $\displaystyle a = 8\cos 22,5^\circ \Leftrightarrow$ $\boxed{a =4 \sqrt {2 + \sqrt 2 } }$

Εύκολα τώρα, $\displaystyle CK = 4\sqrt {2 - \sqrt 2 } \Rightarrow$ $\boxed{(CDK) = 8\sqrt 2 }$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 05, 2021 6:10 am
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα δίνονται: , $\angle BED = 2\angle EDK = {90^ \circ }$

Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου καθώς και την πλευρά του τετραγώνου

Με $ZK\bot DE \Rightarrow DZKC$ εγγράψιμμο,άρα $\angle ZCK=45^0 \Rightarrow CZA$ διαγώνιος

Από Π.Θ στο $\triangle DZK \Rightarrow DZ=ZK=4 \sqrt{2} \Rightarrow ZB=4 \sqrt{2}$ και με Π.Θ στο $\triangle ZBE \Rightarrow ZE=4$

Ισχύει $DZ . DE=DO.DB \Rightarrow 4 \sqrt{2}(4 \sqrt{2}+4)= \dfrac{a \sqrt{2} }{2}.a \sqrt{2} \Rightarrow a=4 \sqrt{2+ \sqrt{2} }$

Με

μέσον του $DK \Rightarrow DM=MC=4$ κι από Ήρωνα,εύκολα $2(DMC)=8 \sqrt{2} =(DKC)$

: εμβαδόν τριγώνου σε τετράγωνο.png (36.05 KiB) Προβλήθηκε 453 φορές

#6

Αλλιώς για την πλευρά.

: Εμβαδόν τριγ. σε τετράγωνο.ΙΙΙ.png (17.61 KiB) Προβλήθηκε 431 φορές

Το

είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραγώνου, άρα με νόμο συνημιτόνου στο AEB:

$\displaystyle {a^2} = 16 + 16 - 32\cos 135^\circ \Leftrightarrow$ $\boxed{a = 4\sqrt {2 + \sqrt 2 } }$

#7

$KC = {\lambda _8}$ σε κύκλο ακτίνας R = 4

. Επειδή $\left\{ \begin{gathered} {a_8} = 2\sqrt {2 + \sqrt 2 } \hfill \\ {\lambda _8} = 4\sqrt {2 - \sqrt 2 } \hfill \\ \end{gathered} \right.$ έχω:

: Εμβαδόν τριγώνου σε τετράγωνο+oritzin.png (22.65 KiB) Προβλήθηκε 426 φορές

$\left\{ \begin{gathered} a = 2{a_8} = 4\sqrt {2 + \sqrt 2 } \hfill \\ \left( {DKC} \right) = 2\left( {OCK} \right) = 2\dfrac{1}{2}{\lambda _8}{a_8} = 8\sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Εμβαδόν τριγώνου σε τετράγωνο

Εμβαδόν τριγώνου σε τετράγωνο

Re: Εμβαδόν τριγώνου σε τετράγωνο

Re: Εμβαδόν τριγώνου σε τετράγωνο

Re: Εμβαδόν τριγώνου σε τετράγωνο

Re: Εμβαδόν τριγώνου σε τετράγωνο

Re: Εμβαδόν τριγώνου σε τετράγωνο

Re: Εμβαδόν τριγώνου σε τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση