Εμβαδόν τριγώνου σε τετράγωνο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3332
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Εμβαδόν τριγώνου σε τετράγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Μάιος 05, 2021 6:10 am

shape.png
shape.png (13.07 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές
Στο παραπάνω σχήμα δίνονται: DK = 2BE = 8, \angle BED = 2\angle EDK = {90^ \circ }

Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου CDK καθώς και την πλευρά του τετραγώνου ABCD


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2102
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Εμβαδόν τριγώνου σε τετράγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τετ Μάιος 05, 2021 7:58 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Τετ Μάιος 05, 2021 6:10 am
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα δίνονται: DK = 2BE = 8, \angle BED = 2\angle EDK = {90^ \circ }

Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου CDK καθώς και την πλευρά του τετραγώνου ABCD
Ειναι \hat{DAB}=90^{0}=\hat{DEB} αρα το τετράλπευρο DAEB είναι εγγράψιμο σε κύκλο

Οπότε

\hat{ADE}=\hat{ABE}=\hat{\omega },\hat{CDK}=45-\omega=\hat{KDC} ,\hat{DKC}=45+\omega=

\hat{DBE}

Αρα τα τρίγωνα DCK,DEB είναι όμοια \dfrac{a}{DE}=\dfrac{CK}{4}=\dfrac{8}{DB}\Rightarrow



    a\sqrt{2}\sqrt{64-a^{2}}=32,(*)

Θέτω

a^{2}=x,(*)\Rightarrow x^{2}-64x+2.16^{2}=0,\Delta =32^{2}.2,a=4\sqrt{2+\sqrt{2}}, 

      CK^{2}=64-16(2+\sqrt{2})\Leftrightarrow CK=4\sqrt{2-\sqrt{2}}, (DCK)=8\sqrt{2}
Συνημμένα
Εμβαδόν τριγώνου σε τετράγωνο.png
Εμβαδόν τριγώνου σε τετράγωνο.png (41.15 KiB) Προβλήθηκε 224 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εμβαδόν τριγώνου σε τετράγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μάιος 05, 2021 8:11 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Τετ Μάιος 05, 2021 6:10 am
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα δίνονται: DK = 2BE = 8, \angle BED = 2\angle EDK = {90^ \circ }

Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου CDK καθώς και την πλευρά του τετραγώνου ABCD
Εμβαδόν τριγ. σε τετράγωνο.png
Εμβαδόν τριγ. σε τετράγωνο.png (9.26 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές
\displaystyle a = 4\sqrt {2 + \sqrt 2 } ,(CDK) = 8\sqrt 2

Βλέπω ότι έχω ίδια λύση με τον Γιάννη. Το αφήνω για τον κόπο του σχήματος. Αν βρω κάτι άλλο, θα επανέλθω.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εμβαδόν τριγώνου σε τετράγωνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μάιος 05, 2021 8:29 am

Αλλιώς.
Εμβαδόν τριγ. σε τετράγωνο.ΙΙ.png
Εμβαδόν τριγ. σε τετράγωνο.ΙΙ.png (9.81 KiB) Προβλήθηκε 218 φορές
\displaystyle A\widehat DB = B\widehat DC = E\widehat DB = 45^\circ, άρα οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες, όπως και πράσινες, που σημαίνει

ότι είναι και μεταξύ τους ίσες με 22,5^\circ η καθεμία. Οπότε, \displaystyle a = 8\cos 22,5^\circ  \Leftrightarrow \boxed{a =4 \sqrt {2 + \sqrt 2 } }

Εύκολα τώρα, \displaystyle CK = 4\sqrt {2 - \sqrt 2 }  \Rightarrow \boxed{(CDK) = 8\sqrt 2 }


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2083
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Εμβαδόν τριγώνου σε τετράγωνο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Μάιος 05, 2021 12:12 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Τετ Μάιος 05, 2021 6:10 am
shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα δίνονται: DK = 2BE = 8, \angle BED = 2\angle EDK = {90^ \circ }

Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου CDK καθώς και την πλευρά του τετραγώνου ABCD
Με ZK\bot DE \Rightarrow DZKC εγγράψιμμο,άρα \angle ZCK=45^0 \Rightarrow CZA διαγώνιος

Από Π.Θ στο \triangle DZK \Rightarrow DZ=ZK=4 \sqrt{2}  \Rightarrow ZB=4 \sqrt{2} και με Π.Θ στο \triangle ZBE \Rightarrow ZE=4

Ισχύει DZ . DE=DO.DB \Rightarrow 4 \sqrt{2}(4 \sqrt{2}+4)= \dfrac{a \sqrt{2} }{2}.a \sqrt{2} \Rightarrow a=4 \sqrt{2+ \sqrt{2} }

Με M μέσον του DK \Rightarrow DM=MC=4 κι από Ήρωνα,εύκολα 2(DMC)=8 \sqrt{2} =(DKC)
εμβαδόν τριγώνου σε τετράγωνο.png
εμβαδόν τριγώνου σε τετράγωνο.png (36.05 KiB) Προβλήθηκε 189 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εμβαδόν τριγώνου σε τετράγωνο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μάιος 05, 2021 2:16 pm

Αλλιώς για την πλευρά.
Εμβαδόν τριγ. σε τετράγωνο.ΙΙΙ.png
Εμβαδόν τριγ. σε τετράγωνο.ΙΙΙ.png (17.61 KiB) Προβλήθηκε 167 φορές
Το E είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραγώνου, άρα με νόμο συνημιτόνου στο AEB:

\displaystyle {a^2} = 16 + 16 - 32\cos 135^\circ  \Leftrightarrow \boxed{a = 4\sqrt {2 + \sqrt 2 } }


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εμβαδόν τριγώνου σε τετράγωνο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Μάιος 05, 2021 2:54 pm

KC = {\lambda _8} σε κύκλο ακτίνας R = 4 . Επειδή \left\{ \begin{gathered} 
  {a_8} = 2\sqrt {2 + \sqrt 2 }  \hfill \\ 
  {\lambda _8} = 4\sqrt {2 - \sqrt 2 }  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. έχω:
Εμβαδόν τριγώνου σε τετράγωνο+oritzin.png
Εμβαδόν τριγώνου σε τετράγωνο+oritzin.png (22.65 KiB) Προβλήθηκε 162 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  a = 2{a_8} = 4\sqrt {2 + \sqrt 2 }  \hfill \\ 
  \left( {DKC} \right) = 2\left( {OCK} \right) = 2\dfrac{1}{2}{\lambda _8}{a_8} = 8\sqrt 2  \hfill \\  
\end{gathered}  \right.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης