Υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο

STOPJOHN · #1

Δίνεται τετράγωνο $AB\Gamma \Delta$ και επι της διαγωνίου $B\Delta$ λαμβάνουμε σημείο

. Με πλευρά τη $\Gamma E$ κατασκευάζουμε τετράγωνο $\Gamma EZH$ . Να δειχθεί ότι υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο

με πλευρές ίσες προς τα ευθύγραμμα τμήματα $\Delta E,EB,EH$

Απο τις σημειώσεις Γεωμετρίας του μεγάλου Γεωμέτρη Ποθητού Σταυρόπουλου

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

STOPJOHN έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 29, 2021 9:40 pm
Δίνεται τετράγωνο $AB\Gamma \Delta$ και επι της διαγωνίου $B\Delta$ λαμβάνουμε σημείο . Με πλευρά τη $\Gamma E$ κατασκευάζουμε τετράγωνο $\Gamma EZH$ . Να δειχθεί ότι υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο

με πλευρές ίσες προς τα ευθύγραμμα τμήματα $\Delta E,EB,EH$

Απο τις σημειώσεις Γεωμετρίας του μεγάλου Γεωμέτρη Ποθητού Σταυρόπουλου

Επειδή $\angle EDC= \angle EZC=45^0 \Rightarrow EDZC$ εγγράψιμμο,άρα $\angle ZDC=90^0 \Rightarrow A,D,Z$

συνευθειακά και λόγω ισότητας των πράσινων γωνιών είναι AE=EZ=CH

Ακόμη,

και $\angle EAB= \angle DCH$ ως συμπληρώματα των πράσινων γωνιών

Επομένως $\triangle AEB= \triangle DHC \Rightarrow EB=DH$ κι από το εγγράψιμμο

$ECHD \Rightarrow EDH=90^0 \Rightarrow EH^2=DE^2+DH^2=DE^2+EB^2$

(Για λόγους πληκτρολόγησης έβαλα λατινικούς χαρακτήρες)

: Ορθογώνιο τρίγωνο.png (14.97 KiB) Προβλήθηκε 269 φορές

#3

STOPJOHN έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 29, 2021 9:40 pm
Δίνεται τετράγωνο $AB\Gamma \Delta$ και επι της διαγωνίου $B\Delta$ λαμβάνουμε σημείο . Με πλευρά τη $\Gamma E$ κατασκευάζουμε τετράγωνο $\Gamma EZH$ . Να δειχθεί ότι υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο

με πλευρές ίσες προς τα ευθύγραμμα τμήματα $\Delta E,EB,EH$

Απο τις σημειώσεις Γεωμετρίας του μεγάλου Γεωμέτρη Ποθητού Σταυρόπουλου

Έστω

η πλευρά του αρχικού τετραγώνου και BE=x,

άρα $ED=a\sqrt 2-x.$

: Υπάρχει ορθ. τρίγωνο.png (9.2 KiB) Προβλήθηκε 252 φορές

$\displaystyle D{E^2} + E{B^2} = {(a\sqrt 2 - x)^2} + {x^2} = 2\left( {{a^2} + {x^2} - ax\sqrt 2 } \right) = 2E{C^2} = E{H^2}$

και το ζητούμενο έπεται (η προτελευταία ισότητα προέκυψε από νόμο συνημιτόνου στο EBC

).

ΥΓ. Για τους ίδιους λόγους με τον Μιχάλη, έβαλα κι εγώ λατινικούς χαρακτήρες.

Υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο

Υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο

Re: Υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση