Ασκησούλα

[Κοτρώνης Αναστάσιος]

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Β=2Γ και πλευρά ΒΓ=2ΑΒ.
Να δείξετε ότι είναι ορθογώνιο.
Έχω δώσει μία λύση. Θα ήθελα να δω κάποια άλλη προσέγγιση

[cretanman]

Φέρνουμε τη διάμεσο ΑΔ του τριγώνου και τότε ΑΒ=ΒΔ άρα κάθε μία από τις προσκέιμενες γωνίες της πλευράς ΑΔ του τριγώνου ΑΒΔ είναι ίση με 90-Γ. Επίσης ΑΔΓ ισοσκελές (ΑΔ=ΔΓ) άρα η γωνία ΔΑΓ είναι ίση με τη γωνία Γ. Συνεπώς ΒΑΓ=(90-Γ)+Γ=90.

Αλέξανδρος

[Φωτεινή]

A=90.PNG (9.48 KiB) Προβλήθηκε 1738 φορές

[Κοτρώνης Αναστάσιος]

Στα αριστερά της C κατασκευάζουμε γωνία ίση με τη C και έστω D το σημείο τομής της μίας πλευράς της με την προέκταση της AB. Από το θεώρημα των διχοτόμων έχουμε , άρα . Όμως το BDC είναι ισοσκελές άρα BD=CD ή BA+AD=CD ή ή CD=BC. Άρα το CBD είναι ισόπλευρο άρα η CA είναι διχοτόμος και ύψος ταυτόχρονα άρα BAC ορθή.

[Γιώργος Ρίζος]

Και μία ... τριγωνομετρική λύση:

Δανείζομαι το σχήμα της Φωτεινής, (θέλει δε θέλει...)

Από Ν. Ημιτόνων: γ/ημΓ = α/ημΑ, δηλαδή: ημΑ = 2ημΓ

άρα ημ(180° – 3Γ) = 2ημΓ ή ημ3Γ = 2ημΓ ή 3ημΓ – 4ημ3Γ = 2ημΓ

ή 4ημ3Γ – ημΓ = 0 άρα ημΓ = 0 (απορ.) ή 4ημ2Γ = 1 άρα ημΓ = 1/2 (αφού Γ οξεία)*,

οπότε Γ = 30°. Τότε Β = 60° και Α = 90°.

* Αν Γ > 90°, τότε και Β = 2γ > 180°, άτοπο).

(Δεν έχω ...κολλήσει με την τριγωνομετρία, απλά πειραματίζομαι με τις δυνατότητες που μας δίνει σε γεωμετρικά θέματα. Αν κάναμε καλλιστεία λύσεων, θα ψήφιζα τις κομψές γεωμετρικές που ήδη δώσατε).

Γιώργος Ρίζος

[Φωτεινή]

Και μία ... τριγωνομετρική λύση:

Δανείζομαι το σχήμα της Φωτεινής
και καλά κάνεις

Γιώργος Ρίζος

[p_gianno]

Καλησπέρα
Μια παραλλαγή λύσης

Φέρω τη διάμεσο ΑΔ. Τότε ΑΒΔ και ΑΔΓ ισοσκελή επειδή εκ κατασκευής έχουν ΒΔ=ΑΒ=γ και ΑΔ=ΔΓ=γ αντιστοίχως.
Επομένως Α1=Δ1=φ και Α2=Γ=ω Όμως Δ1=2ω (εξωτερική γωνία) και Β=2ω από υπόθεση .
Συνεπώς Β=Δ1=Α1=2ω -- > ΒΑΔ ισόπλευρο -- >ΑΔ=ΒΔ=ΒΓ/2
-- >διαμεσος= ½ πλευράς στη οποία αντιστοιχεί ---> Α=90
Εναλλακτικά και ίσως πιο εύκολα
υπολογίζω τις γωνίες του ΑΒΓ που είναι ω,2ω και 3ω οπότε προκύπτει τρίγωνο με γωνίες 30 , 60 ,90 μοίρες

rectangular triangle.jpg (10.51 KiB) Προβλήθηκε 1527 φορές

Πάνος