Βρείτε την .. ανήλικη

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα και ...χιλιετίες πολλές!

Η εκφώνηση απλή, οι διαδρομές έως την εύρεση ίσως ποικίλες!

: 14-3 Βρείτε την!.png (113.13 KiB) Προβλήθηκε 1691 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει $\widehat{A}=75^o$ και $\widehat{B}=45^o$ . Το $E \in AB$ ώστε AE=2BE

. Βρείτε την $\widehat{BCE}$

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 14, 2021 9:04 am
Καλημέρα και ...χιλιετίες πολλές!

Η εκφώνηση απλή, οι διαδρομές έως την εύρεση ίσως ποικίλες!

14-3 Βρείτε την!.png

Το τρίγωνο έχει $\widehat{A}=75^o$ και $\widehat{B}=45^o$ . Το $E \in AB$ ώστε . Βρείτε την $\widehat{BCE}$

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλημέρα!

: Βρείτε την ... ανήλικη.png (14.29 KiB) Προβλήθηκε 1674 φορές

$\displaystyle x = 15^\circ.$ Εντός ολίγου και η λύση

edit: Άρση απόκρυψης.

#3

: Βρείτε την ανήλικη_ανάποδα_a.png (21.45 KiB) Προβλήθηκε 1672 φορές

Αγνοώ προσωρινά το

και γράφω το περιγεγραμμένο κύκλο $\left( {K,R} \right)$ του $\vartriangle ABC$ .

Είναι $AC = R\sqrt 2 = {\lambda _4}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = R\sqrt 3 = {\lambda _6}$ . έτσι αβίαστα προκύπτει το πιο πάνω σχήμα , με το

μέσο του

.

Τώρα προεκτείνω την

προς το

και τέμνει την

στο

. προφανώς η

είναι διχοτόμος του $\vartriangle KMB$ και η τετράδα $\left( {A,S\,\,\backslash M,B} \right)$ αρμονική.

: Βρείτε την ανήλικη_ανάποδα_b.png (26.43 KiB) Προβλήθηκε 1672 φορές

Από την αρμονική αναλογία έχω:

$\boxed{\frac{{SB}}{{AB}} = \frac{{SM}}{{MA}} \Leftrightarrow \frac{{SB}}{{AB - SB}} = \frac{{SM}}{{MA - SM}} \Leftrightarrow \frac{{SB}}{{SA}} = \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{KM}}{{KB}} = \frac{1}{2}}$ .

Άρα το $S \equiv E$ και η γωνία που θέλω είναι $15^\circ$ .

Edit: Έβαλα το σωστό σύμβολο ( αντί ) στην αναλογία

#4

Κατασκευάζω το ισόπλευρο AZC

όπως φαίνεται στο σχήμα. Με νόμο συνημιτόνoυ και ημιτόνου στο ABC

είναι:

: Βρείτε την ... ανήλικη.png (14.29 KiB) Προβλήθηκε 1668 φορές

$\displaystyle {c^2} = {a^2} + {b^2} - ab \Leftrightarrow$ $\boxed{{c^2} - {b^2} = a(a - b)}$ (1)

και

$\displaystyle \frac{b}{c} = \frac{{\sin 45^\circ }}{{\sin 60^\circ }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow {b^2} = \frac{{2{c^2}}}{3}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} \frac{{{c^2}}}{3} = a(a - b) \Leftrightarrow BE \cdot BA = BZ \cdot BC,$

απ' όπου το AEZC

είναι εγγράψιμο και $\boxed{B\widehat CE = E\widehat AZ = 15^\circ }$

Manolis Petrakis · #5

Έστω $E'\in BC$ τέτοιο, ώστε $\widehat{BCE'}=15^{\circ}$
Είναι $\widehat{B}=\widehat{ACE'}$
Έτσι από την ομοιότητα των ABC,ACE'

παίρνουμε:
$AC^2=AE'\cdot AB\ (1)$
Από νόμο ημιτόνων στο ABC

:
$\dfrac{AB}{\sin 60^{\circ}}=\dfrac{AC}{\sin 45^{\circ}}\Leftrightarrow AC=AB\sqrt{\dfrac{2}{3}}\ (2)$
Αντικαθιστώντας τη (2)

στην

παίρνουμε:
$AE'=\dfrac{2AB}{3}$
Άρα τα E,E'

ταυτίζονται.
Επομένως $\widehat{BCE}=\widehat{BCE'}=15^{\circ}$

#6

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 14, 2021 9:04 am
Καλημέρα και ...χιλιετίες πολλές!

Η εκφώνηση απλή, οι διαδρομές έως την εύρεση ίσως ποικίλες!

14-3 Βρείτε την!.png

Το τρίγωνο έχει $\widehat{A}=75^o$ και $\widehat{B}=45^o$ . Το $E \in AB$ ώστε . Βρείτε την $\widehat{BCE}$

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Φέρνω το ύψος

και εύκολα βρίσκω ότι $\displaystyle AD = BD = \frac{{b\sqrt 3 }}{2},DC = \frac{b}{2} \Rightarrow BC = \frac{b}{2}\left( {\sqrt 3 + 1} \right).$

: Βρείτε την ... ανήλικη.β.png (12.32 KiB) Προβλήθηκε 1648 φορές

Μενέλαος στο ABD

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {CME} ,$ $\displaystyle \frac{{BE}}{{EA}} \cdot \frac{{AM}}{{MD}} \cdot \frac{{DC}}{{BC}} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot \frac{{AM}}{{MD}} \cdot \frac{1}{{\sqrt 3 + 1}} = 1 \Leftrightarrow$

$\displaystyle \frac{{AM}}{{MD}} = 2\sqrt 3 + 2 \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{MD}} = 2\sqrt 3 + 3 \Leftrightarrow MD = \frac{{b\sqrt 3 }}{{4\sqrt 3 + 6}} = \frac{b}{2}\left( {2 - \sqrt 3 } \right) \Leftrightarrow$

$\displaystyle \frac{{MD}}{{DC}} = 2 - \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan x = 2 - \sqrt 3 \Leftrightarrow$ $\boxed{x = 15^\circ }$

#7

: Βρείτε την ανήλικη_new.png (14.36 KiB) Προβλήθηκε 1630 φορές

Έστω $\left( {ABC} \right) = E = 3T\,\,\,,\,\,\left( {AEC} \right) = 2T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {EBC} \right) = T$ .

Ισχύουν ταυτόχρονα : $\left\{ \begin{gathered} 3T = \frac{1}{2}ab\frac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ T = \frac{1}{2}ak\frac{{\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\frac{b}{{3k}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{AC}}{{AB}}}\,\,\left( 1 \right)$

Αλλά ( και λόγω της $\left( 1 \right)$ ) $\boxed{\dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{{2k}}{b} = \dfrac{{2k}}{{\dfrac{{3k\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{{3\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt {12} }}{{\sqrt {18} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\,}\,\,\left( 2 \right)$

Οι $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ μας εξασφαλίζουν ότι: $\vartriangle ABC \approx \vartriangle ACE \Rightarrow \widehat {AEC} = 60^\circ \Rightarrow \boxed{\widehat {{\theta _{}}} = 15^\circ }$

STOPJOHN · #8

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 14, 2021 9:04 am
Καλημέρα και ...χιλιετίες πολλές!

Η εκφώνηση απλή, οι διαδρομές έως την εύρεση ίσως ποικίλες!

14-3 Βρείτε την!.png

Το τρίγωνο έχει $\widehat{A}=75^o$ και $\widehat{B}=45^o$ . Το $E \in AB$ ώστε . Βρείτε την $\widehat{BCE}$

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Εστω ότι $AJ\perp BC,BJ=AJ,JC=\dfrac{1}{2}AC,AJ=BJ=\dfrac{c\sqrt{2}}{2},JC=\dfrac{b}{2}, a=\dfrac{b}{2}+\dfrac{c\sqrt{2}}{2},$ και στο τρίγωνο ABC

με $\hat{C}=60^{0},c^{2}=a^{2}+b^{2}-ab,(2), (1),(2)\Rightarrow 3b^{2}=2c^{2}\Leftrightarrow \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AC}{AB},(3)$
Αρα τα τρίγωνα AEC,ABC

λόγω της

και τη γωνία $\hat{A}$ κοινή είναι όμοια οπότε $60^{0}-\hat{\theta }=45^{0},\hat{ECB}=\theta ,\hat{\theta }=15^{0}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #9

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 14, 2021 9:04 am
Καλημέρα και ...χιλιετίες πολλές!

Η εκφώνηση απλή, οι διαδρομές έως την εύρεση ίσως ποικίλες!

14-3 Βρείτε την!.png

Το τρίγωνο έχει $\widehat{A}=75^o$ και $\widehat{B}=45^o$ . Το $E \in AB$ ώστε . Βρείτε την $\widehat{BCE}$

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

$\angle DAC=30^0 \Rightarrow AD^2= \dfrac{3b^2}{4} \Rightarrow c^2=2AD^2=\dfrac{3b^2}{2} \Rightarrow b^2= \dfrac{2}{3} c^2=AE . AB$

Άρα

εφαπτόμενη του κύκλου $(E,B,C) \Rightarrow \angle ACE=45^0 \Rightarrow \angle ECB=15^0$

: Βρείτε την ...ανήλικη.png (15.61 KiB) Προβλήθηκε 1544 φορές

Ιστοσελίδα · #10

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 14, 2021 9:04 am
Καλημέρα και ...χιλιετίες πολλές!

Η εκφώνηση απλή, οι διαδρομές έως την εύρεση ίσως ποικίλες!

Το τρίγωνο έχει $\widehat{A}=75^o$ και $\widehat{B}=45^o$ . Το $E \in AB$ ώστε . Βρείτε την $\widehat{BCE}$

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλημέρα! Ας τη συνδυάσουμε με αυτήν.

: shape.png (20.53 KiB) Προβλήθηκε 1478 φορές

Φέρω $y = CD \bot AB$ και θέτω AE = 2BE = 2x

Από την εξίσωση $y(2 - \sqrt 3 )\mathop = \limits^{AD} 3x - y \Leftrightarrow x = \dfrac{{y(3 - \sqrt 3 )}}{3}$ , προκύπτει ότι $\tan ({45^ \circ } - \omega ) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = \tan ({30^ \circ }) \Leftrightarrow \omega = {15^ \circ }$

Γιώργος Μήτσιος · #11

Καλό βράδυ σε όλους! Να ευχαριστήσω τους αγαπητούς Γιώργο, Νίκο, Μανώλη, Γιάννη, Μιχάλη Τ. και Μιχάλη Ν.

για την άψογη .. συμπεριφορά τους προς την "ανήλικη". Μια ακόμη παραλλαγή

: ανήλικη.png (130.24 KiB) Προβλήθηκε 1320 φορές

Όπως έχει γραφεί είναι $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{\sqrt{2}}{ \sqrt{3}}$ ενώ $\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{3}{2}$ . Με πολ/μό κατά μέλη παίρνουμε $\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{\sqrt{3}}{ \sqrt{2}}$

Στο τρίγωνο AEC

ο Ν. Ημιτόνων μας δίνει $\dfrac{\eta \mu x}{\eta \mu y}=\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{\sqrt{3}}{ \sqrt{2}}=\dfrac{\eta \mu 60^o}{\eta \mu 45^o}$ , ενώ x+y=105^o=60^o +45^o

.

Έπεται όπως ΕΔΩ , x=60^o

και

...

Ας μου επιτραπεί να στείλω από εδώ, ένα ιδιαίτερο εγκάρδιο χαιρετισμό στην νοτιότερη πόλη της Ευρώπης: την Ιεράπετρα Κρήτης..

Φιλικά, Γιώργος.

#12

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 03, 2021 11:18 pm
Καλό βράδυ σε όλους! Να ευχαριστήσω τους αγαπητούς Γιώργο, Νίκο, Μανώλη, Γιάννη, Μιχάλη Τ. και Μιχάλη Ν.

για την άψογη .. συμπεριφορά τους προς την "ανήλικη". Μια ακόμη παραλλαγή
ανήλικη.png
Όπως έχει γραφεί είναι $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{\sqrt{2}}{ \sqrt{3}}$ ενώ $\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{3}{2}$ . Με πολ/μό κατά μέλη παίρνουμε $\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{\sqrt{3}}{ \sqrt{2}}$

Στο τρίγωνο ο Ν. Ημιτόνων μας δίνει $\dfrac{\eta \mu x}{\eta \mu y}=\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{\sqrt{3}}{ \sqrt{2}}=\dfrac{\eta \mu 60^o}{\eta \mu 45^o}$ , ενώ .

Έπεται όπως ΕΔΩ , και ...

Ας μου επιτραπεί να στείλω από εδώ, ένα ιδιαίτερο εγκάρδιο χαιρετισμό στην νοτιότερη πόλη της Ευρώπης: την Ιεράπετρα Κρήτης..

Φιλικά, Γιώργος.

Ευχαριστώ πολύ Γιώργο. Όταν και αν βρεθείς προς τα μέρη μας , πολύ θα χαρώ να σε γνωρίσω κι από κοντά .

Βρείτε την .. ανήλικη

Βρείτε την .. ανήλικη

Re: Βρείτε την .. ανήλικη

Re: Βρείτε την .. ανήλικη

Re: Βρείτε την .. ανήλικη

Re: Βρείτε την .. ανήλικη

Re: Βρείτε την .. ανήλικη

Re: Βρείτε την .. ανήλικη

Re: Βρείτε την .. ανήλικη

Re: Βρείτε την .. ανήλικη

Re: Βρείτε την .. ανήλικη

Re: Βρείτε την .. ανήλικη

Re: Βρείτε την .. ανήλικη

Μέλη σε σύνδεση