Δύο ημικύκλια κι ένας κύκλος

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10649
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Δύο ημικύκλια κι ένας κύκλος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μαρ 02, 2021 6:52 pm

1 κύκλος και 2 ημικύκλια.png
1 κύκλος και 2 ημικύκλια.png (15.49 KiB) Προβλήθηκε 228 φορές
Θεωρώ τα διαδοχικά συνευθειακά σημεία A, B, C, D ώστε AB=BC=CD και γράφω τα ημικύκλια με

διαμέτρους AC και BD. Να κατασκευάσετε κύκλο κέντρου (K) που να εφάπτεται εσωτερικά στο ένα ημικύκλιο,

εξωτερικά στο άλλο, καθώς επίσης και στο τμήμα CD. Στη συνέχεια υπολογίστε την \displaystyle \tan \theta, όπου \displaystyle \theta  = D\widehat AK.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Δύο ημικύκλια κι ένας κύκλος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μαρ 02, 2021 7:58 pm

Δύο ημικύκλια κι ένας κύκλος.png
Δύο ημικύκλια κι ένας κύκλος.png (19.73 KiB) Προβλήθηκε 210 φορές
Με Π.Θ. στα τρίγωνα BKS  , CKS παίρνω : (R+x)^2+r^2=(R+r)^2 και : x^2+r^2=(R-r)^2 .

Η επίλυση του συστήματος δίνει : r=\dfrac{R\sqrt{3}}{4} , οπότε η τομή των κύκλων (S , r) και (B, R+r)

δίνει το σημείο K . Είναι επίσης : x=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}R , οπότε : \tan\theta = \dfrac{r}{2R+x}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{4}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13465
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Δύο ημικύκλια κι ένας κύκλος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μαρ 02, 2021 8:03 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Μαρ 02, 2021 6:52 pm
1 κύκλος και 2 ημικύκλια.png
Θεωρώ τα διαδοχικά συνευθειακά σημεία A, B, C, D ώστε AB=BC=CD και γράφω τα ημικύκλια με

διαμέτρους AC και BD. Να κατασκευάσετε κύκλο κέντρου (K) που να εφάπτεται εσωτερικά στο ένα ημικύκλιο,

εξωτερικά στο άλλο, καθώς επίσης και στο τμήμα CD. Στη συνέχεια υπολογίστε την \displaystyle \tan \theta, όπου \displaystyle \theta  = D\widehat AK.
Αν L η προβολή του κέντρου K στην CL και αν οι ακτίνες των μεγάλων κύκλων είναι R, του μικρού είναι r και αν CL=x, τότε από τα ορθογώνια τρίγωνα BKL,\, CKL έχουμε

\displaystyle{(R+x)^2+r^2 = (R+r)^2, (R-r)^2 = r^2+x^2}. Λύνοντας θα βρούμε r= \dfrac {\sqrt 3 R}{4}, \, x= \dfrac {(\sqrt 3 -1)R}{2}.

Έπεται ότι \tan \theta = \dfrac {KL}{AL} = \dfrac {r}{R+R+x}= \dfrac {\sqrt 3 -1}{4}

Μένει η κατασκευή του κύκλου. Ο δύσκολος τρόπος είναι να το δούμε ως το "Πρόβλημα του Απολλωνίου" για τα δεδομένα ημικύκλια και την ευθεία AB. Αλλιώς παίρνουμε x ως άνω, δεξιά του C, και κάθετο LK=r= ως άνω. Γράφουμε τώρα τον κύκλο (K, KL)

Edit: Με πρόλαβε ο Θανάσης με ακριβώς την ίδια λύση. Το αφήνω.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης