Ορθογώνιο τραπέζιο.

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1224
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Ορθογώνιο τραπέζιο.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Παρ Ιαν 22, 2021 8:07 pm

83.png
83.png (7.92 KiB) Προβλήθηκε 288 φορές

Ψάχνω το μήκος του τμήματος x.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12313
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 22, 2021 8:30 pm

x.png
x.png (8.21 KiB) Προβλήθηκε 284 φορές


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1224
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Παρ Ιαν 22, 2021 8:36 pm

Δεν καταλαβαίνω τίποτα από την λύση του KARKAR.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12313
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 22, 2021 8:40 pm

Οι τρεις γωνίες στο E έχουν άθροισμα 180^0 . Αλλά : \tan a\cdot\tan b\cdot tan c=\tan a+\tan b+tan c


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1968
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Ιαν 22, 2021 9:56 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Παρ Ιαν 22, 2021 8:07 pm
83.png


Ψάχνω το μήκος του τμήματος x.
Είναι  \phi + \theta =45^0 κι από τον τύπο tan( \theta + \phi )=1 με tan \theta = \dfrac{2}{3} ,tan \phi = \dfrac{x}{15} παίρνουμε x=3
Ορθογώνιο τραπέζιο.png
Ορθογώνιο τραπέζιο.png (20.04 KiB) Προβλήθηκε 261 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1373
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Ιαν 22, 2021 9:59 pm

Καλησπέρα!
Λίγο διαφορετικά: \dfrac{x/15+2/3}{1-2x/45}=1\Leftrightarrow x=3 Η εξήγηση θ΄ακολουθήσει...

Όπως βλέπω , με πρόλαβε ο αγαπητός Μιχάλης!


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3304
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Παρ Ιαν 22, 2021 11:18 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Παρ Ιαν 22, 2021 8:07 pm

Ψάχνω το μήκος του τμήματος x.
Καλησπέρα!
shape.png
shape.png (15.4 KiB) Προβλήθηκε 242 φορές
 \triangleleft AEB \sim  \triangleleft DZC \sim  \triangleleft KZE

5k = 5\sqrt {13}  \Leftrightarrow k = \sqrt {13}

\dfrac{{15(x + 10)}}{2}\mathop  = \limits^{(CEZ)} \dfrac{{3k \cdot 5k}}{2} \Leftrightarrow 15(x + 10) = 15 \cdot 13 \Leftrightarrow x = 3


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7788
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο.

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιαν 23, 2021 2:07 am

Ορθογώνιο ττραπέζιο_Φάνης.png
Ορθογώνιο ττραπέζιο_Φάνης.png (16.09 KiB) Προβλήθηκε 224 φορές
\vartriangle AEB \approx \vartriangle FTB \Rightarrow TF = 6 , \boxed{\tan \theta  = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}} ,

\tan \omega  = \tan \left( {45^\circ  - \theta } \right) = \dfrac{{\tan 45^\circ  - \tan \theta }}{{1 + \tan 45^\circ  \cdot \tan \theta }} = \dfrac{1}{5} και άρα \boxed{x = 3}


Πάγια αρχή μου δεν βλέπω τις λύσεις εκτός κι αν δεν μπορώ να τη λύσω. Εδώ πάντως άπαντες είχαμε, επί της ουσίας, την ίδια σκέψη!


Μου άρεσαν όλες οι λύσεις εκτός ίσως της δικής μου :lol:


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10169
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο.

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 23, 2021 10:07 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Παρ Ιαν 22, 2021 8:07 pm
83.png


Ψάχνω το μήκος του τμήματος x.
Ορθογώνιο τραπέζιο.Φ.png
Ορθογώνιο τραπέζιο.Φ.png (13.42 KiB) Προβλήθηκε 204 φορές
Φέρνω EZ\bot EB. Προφανώς, \displaystyle D\widehat EZ = A\widehat BE = \theta και \displaystyle \tan \theta  = \frac{2}{3}.

\displaystyle \frac{{15}}{x} = \tan (45^\circ  + \theta ) = \frac{{1 + \frac{2}{3}}}{{1 - \frac{2}{3}}} \Leftrightarrow \boxed{x=3}


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1224
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο.

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Σάβ Ιαν 23, 2021 12:22 pm

Μια χαρά είναι η λύση σου Νίκο.
Κοίτα τι γίνεται παρακάτω.
83.png
83.png (13.2 KiB) Προβλήθηκε 188 φορές
Από το Π.Θ. στο \triangle EAB έχω EB=\sqrt{52}.
Από το Π.Θ. στο \triangle EBM έχω επίσης EM=BM=\sqrt{26}.
Ο Πτολεμαίος στο εγγράψιμο ABME μου δίνει AM=5\sqrt{2}.
Από το Π.Θ. στο \triangle ANM παίρνω AN=NM=5.
Οπότε EN=1.
Αλλά \triangle EMN\sim \triangle ECD\Rightarrow \dfrac{EN}{ED}=\dfrac{NM}{DC}\Rightarrow x=3.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1373
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο.

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Ιαν 23, 2021 6:52 pm

Καλό βράδυ σε όλους!
Μιας και που ...tan... αναφέραμε πολλές, τις περισσότερες .. :lol: ..ο KARKAR (Θανάση πολύχρονος!)
ας δουμε μια ακόμη χωρίς εφαπτομένη.

Στο αρχικό σχήμα του Φάνη είναι BE=2\sqrt{13} και CE=\sqrt{225+x^{2}} .

Έχουμε \left ( ABCD \right )=\left ( ABE \right )+\left ( BEC \right )+\left ( DEC \right )

και για x>0 παίρνουμε: 21\left ( x+4 \right )=24+15x+\sqrt{13}\cdot \sqrt{225+x^{2}}\cdot \sqrt{2} \Leftrightarrow \sqrt{26\left ( 225+x^{2} \right )}=6x+60

\Leftrightarrow...  \Leftrightarrow \left ( x+75 \right )\left ( x-3 \right )=0 Άρα x=3.

Φιλικά, Γιώργος


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1968
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο.

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Ιαν 23, 2021 9:54 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Παρ Ιαν 22, 2021 8:07 pm
83.png


Ψάχνω το μήκος του τμήματος x.
Θεωρούμε το ορθογώνιο-ισοσκελές τρίγωνο BEZ που ο περίκυκλός του τέμνει την AB στο H και την AD στο N

Όλες οι 45-άρες προκύπτουν εύκολα,οπότε AH=AE=4 κι επειδή HE//BN\Rightarrow NE=HB=2.

Ακόμη, ZN \bot AD \Rightarrow ZN//CD

Από Πτολεμαίο στο EBZN με EB=BZ=2 \sqrt{13} ,EZ=2 \sqrt{26}  ,BN=6 \sqrt{2} ,EN=2 βρίσκουμε NZ=10

και  \dfrac{2}{ED}= \dfrac{10}{15}  \Rightarrow ED=x=3
orth.trap.png
orth.trap.png (35.21 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Τσουρακάκης σε Κυρ Ιαν 24, 2021 12:21 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3304
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο.

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Σάβ Ιαν 23, 2021 10:33 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Παρ Ιαν 22, 2021 8:07 pm

Ψάχνω το μήκος του τμήματος x.
shape2.png
shape2.png (20.67 KiB) Προβλήθηκε 122 φορές
CK \bot BE,\,N \equiv KE \cap CD

 \triangleleft EAB \sim  \triangleleft EDN \sim  \triangleleft CKN

 \triangleleft EDN:{y^2} = 13{x^2}

NE \cdot NK = ND \cdot NC \Leftrightarrow y \cdot 3y = 3x(3x + 15) \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow 39{x^2} = 9{x^2} + 45x \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}, οπότε DE = 2x = 3


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7788
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο.

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιαν 23, 2021 11:15 pm

Ορθογώνιο τραπέζιο_Φάνης_oritzin_1.png
Ορθογώνιο τραπέζιο_Φάνης_oritzin_1.png (29.29 KiB) Προβλήθηκε 110 φορές
Γράφω τον κύκλο διαμέτρου EC και έστω Z το άλλο κοινό σημείο του με την EB.

Ας είναι H\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T οι προβολές του Z στις ευθείες DC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DA.

Επειδή \widehat {ZEC} = \widehat {ZDC} = 45^\circ το τρίγωνο HZD είναι ισοσκελές ορθογώνιο και το τετράπλευρο DHZT είναι τετράγωνο .

Αφού τώρα \widehat {BEA} = \widehat {ZCD} ( εξωτερική εγγεγραμμένου) και άρα \vartriangle AEB \approx \vartriangle HCZ \approx \vartriangle TEZ.

Αβίαστα τώρα προκύπτουν : HC = 6\,\,,\,\,HZ = 9\,\,,\,\,TA = 2 \Rightarrow \boxed{x = 3}


Τα "μεγάλα πνεύματα" συναντήθηκαν, πάλι, για να δώσουν λύση χωρίς τριγωνομετρία!


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 3 επισκέπτες